ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 811 Атанасян — Подробные Ответы

Дан выпуклый шестиугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\), все углы которого равны. Докажите, что
\(A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1\).

Дано: \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\) — выпуклый шестиугольник, \(\angle A_1 = \angle A_2 = \angle A_3 = \angle A_4 = \angle A_5 = \angle A_6 = \alpha\). Требуется доказать: \(A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1\).

Решение:

1. Пусть \(A_1A_2 = a_1\), \(A_2A_3 = a_2\), \(A_3A_4 = a_3\), \(A_4A_5 = a_4\), \(A_5A_6 = a_5\), \(A_6A_1 = a_6\).

2. Продлим стороны \(A_1A_6\), \(A_2A_3\), \(A_4A_5\), получим треугольники \(\triangle B_3A_6A_5\), \(\triangle B_1A_1A_2\), \(\triangle B_2A_4A_3\).

3. Углы шестиугольника равны: \(6 \cdot \alpha = 180 \cdot (6 — 2)\). Отсюда:
\(
\alpha = \frac{180 \cdot 4}{6} = 120^\circ.
\)

4. Смежные углы с внешними сторонами равны \(60^\circ\): \(\angle B_1 = \angle B_2 = \angle B_3 = 60^\circ\). Следовательно, треугольники \(\triangle B_3A_6A_5\), \(\triangle B_1A_1A_2\), \(\triangle B_2A_4A_3\) равносторонние. Поэтому:
\(
B_1B_2 = B_2B_3 = B_1B_3.
\)

5. Запишем равенство длин сторон:
\(
a_1 + a_2 + a_3 = a_3 + a_4 + a_5 = a_5 + a_6 + a_1.
\)

6. Продолжим равенство:
\(
a_1 + a_2 = a_4 + a_5, \quad a_1 — a_4 = a_5 — a_2, \quad a_3 + a_4 = a_6 + a_1, \)
\(\quad a_1 — a_4 = a_3 — a_6.
\)

7. Таким образом:
\(
a_1 — a_4 = a_5 — a_2 = a_3 — a_6.
\)

Следовательно:
\(
A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1.
\)

Что и требовалось доказать.

Дано: \( A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) — выпуклый шестиугольник, все углы равны: \( \angle A_1 = \angle A_2 = \angle A_3 = \angle A_4 = \angle A_5 = \angle A_6 = \alpha \). Требуется доказать: \( A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1 \).

Решение:

1. Пусть \( A_1A_2 = a_1 \), \( A_2A_3 = a_2 \), \( A_3A_4 = a_3 \), \( A_4A_5 = a_4 \), \( A_5A_6 = a_5 \), \( A_6A_1 = a_6 \).

2. Для вычисления величины угла \( \alpha \) используем формулу для внутреннего угла правильного многоугольника:
\(
\alpha = \frac{180 \cdot (n — 2)}{n},
\)
где \( n = 6 \) — количество сторон шестиугольника. Подставим \( n = 6 \):
\(
\alpha = \frac{180 \cdot (6 — 2)}{6} = \frac{180 \cdot 4}{6} = 120^\circ.
\)

3. Продлим стороны \( A_1A_6 \), \( A_2A_3 \), \( A_4A_5 \), чтобы получить треугольники \( \triangle B_3A_6A_5 \), \( \triangle B_1A_1A_2 \), \( \triangle B_2A_4A_3 \). Углы между смежными сторонами равны \( 60^\circ \), так как:
\(
\angle B_1 = \angle B_2 = \angle B_3 = 60^\circ.
\)

4. Поскольку углы равны \( 60^\circ \), треугольники \( \triangle B_3A_6A_5 \), \( \triangle B_1A_1A_2 \), \( \triangle B_2A_4A_3 \) являются равносторонними. Следовательно, длины сторон равны:
\(
B_1B_2 = B_2B_3 = B_1B_3.
\)

5. Запишем равенство сумм длин сторон, исходя из симметрии шестиугольника:
\(
a_1 + a_2 + a_3 = a_3 + a_4 + a_5 = a_5 + a_6 + a_1.
\)

6. Разделим равенства на группы для анализа:
\(
a_1 + a_2 = a_4 + a_5, \quad a_1 — a_4 = a_5 — a_2, \quad a_3 + a_4 = a_6 + a_1, \)
\(\quad a_1 — a_4 = a_3 — a_6.
\)

7. Из первого равенства \( a_1 + a_2 = a_4 + a_5 \) следует:
\(
a_1 — a_4 = a_5 — a_2.
\)

8. Из второго равенства \( a_3 + a_4 = a_6 + a_1 \) следует:
\(
a_1 — a_4 = a_3 — a_6.
\)

9. Таким образом, из двух равенств имеем:
\(
a_1 — a_4 = a_5 — a_2 = a_3 — a_6.
\)

10. Подставим эти выражения в исходное требование:
\(
A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1.
\)

Что и требовалось доказать.