Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 811 Атанасян — Подробные Ответы
811 Дан выпуклый шестиугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\), все углы которого равны. Докажите, что
\(A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1\).
Дано: \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\) — выпуклый шестиугольник, \(\angle A_1 = \angle A_2 = \angle A_3 = \angle A_4 = \angle A_5 = \angle A_6 = \alpha\). Требуется доказать: \(A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1\).
Решение:
1. Пусть \(A_1A_2 = a_1\), \(A_2A_3 = a_2\), \(A_3A_4 = a_3\), \(A_4A_5 = a_4\), \(A_5A_6 = a_5\), \(A_6A_1 = a_6\).
2. Продлим стороны \(A_1A_6\), \(A_2A_3\), \(A_4A_5\), получим треугольники \(\triangle B_3A_6A_5\), \(\triangle B_1A_1A_2\), \(\triangle B_2A_4A_3\).
3. Углы шестиугольника равны: \(6 \cdot \alpha = 180 \cdot (6 — 2)\). Отсюда:
\[
\alpha = \frac{180 \cdot 4}{6} = 120^\circ.
\]
4. Смежные углы с внешними сторонами равны \(60^\circ\): \(\angle B_1 = \angle B_2 = \angle B_3 = 60^\circ\). Следовательно, треугольники \(\triangle B_3A_6A_5\), \(\triangle B_1A_1A_2\), \(\triangle B_2A_4A_3\) равносторонние. Поэтому:
\[
B_1B_2 = B_2B_3 = B_1B_3.
\]
5. Запишем равенство длин сторон:
\[
a_1 + a_2 + a_3 = a_3 + a_4 + a_5 = a_5 + a_6 + a_1.
\]
6. Продолжим равенство:
\[
a_1 + a_2 = a_4 + a_5, \quad a_1 — a_4 = a_5 — a_2, \quad a_3 + a_4 = a_6 + a_1, \quad a_1 — a_4 = a_3 — a_6.
\]
7. Таким образом:
\[
a_1 — a_4 = a_5 — a_2 = a_3 — a_6.
\]
Следовательно:
\[
A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1.
\]
Что и требовалось доказать.
Дано: \( A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) — выпуклый шестиугольник, все углы равны: \( \angle A_1 = \angle A_2 = \angle A_3 = \angle A_4 = \angle A_5 = \angle A_6 = \alpha \). Требуется доказать: \( A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1 \).
Решение:
1. Пусть \( A_1A_2 = a_1 \), \( A_2A_3 = a_2 \), \( A_3A_4 = a_3 \), \( A_4A_5 = a_4 \), \( A_5A_6 = a_5 \), \( A_6A_1 = a_6 \).
2. Для вычисления величины угла \( \alpha \) используем формулу для внутреннего угла правильного многоугольника:
\[
\alpha = \frac{180 \cdot (n — 2)}{n},
\]
где \( n = 6 \) — количество сторон шестиугольника. Подставим \( n = 6 \):
\[
\alpha = \frac{180 \cdot (6 — 2)}{6} = \frac{180 \cdot 4}{6} = 120^\circ.
\]
3. Продлим стороны \( A_1A_6 \), \( A_2A_3 \), \( A_4A_5 \), чтобы получить треугольники \( \triangle B_3A_6A_5 \), \( \triangle B_1A_1A_2 \), \( \triangle B_2A_4A_3 \). Углы между смежными сторонами равны \( 60^\circ \), так как:
\[
\angle B_1 = \angle B_2 = \angle B_3 = 60^\circ.
\]
4. Поскольку углы равны \( 60^\circ \), треугольники \( \triangle B_3A_6A_5 \), \( \triangle B_1A_1A_2 \), \( \triangle B_2A_4A_3 \) являются равносторонними. Следовательно, длины сторон равны:
\[
B_1B_2 = B_2B_3 = B_1B_3.
\]
5. Запишем равенство сумм длин сторон, исходя из симметрии шестиугольника:
\[
a_1 + a_2 + a_3 = a_3 + a_4 + a_5 = a_5 + a_6 + a_1.
\]
6. Разделим равенства на группы для анализа:
\[
a_1 + a_2 = a_4 + a_5, \quad a_1 — a_4 = a_5 — a_2, \quad a_3 + a_4 = a_6 + a_1, \quad a_1 — a_4 = a_3 — a_6.
\]
7. Из первого равенства \( a_1 + a_2 = a_4 + a_5 \) следует:
\[
a_1 — a_4 = a_5 — a_2.
\]
8. Из второго равенства \( a_3 + a_4 = a_6 + a_1 \) следует:
\[
a_1 — a_4 = a_3 — a_6.
\]
9. Таким образом, из двух равенств имеем:
\[
a_1 — a_4 = a_5 — a_2 = a_3 — a_6.
\]
10. Подставим эти выражения в исходное требование:
\[
A_1A_2 — A_4A_5 = A_5A_6 — A_2A_3 = A_3A_4 — A_6A_1.
\]
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.