ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 806 Атанасян — Подробные Ответы

Точка С делит отрезок АВ в отношении m : n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство
\(
\overrightarrow{OC} = \frac{n}{m+n} \cdot \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n} \cdot \overrightarrow{OB}.
\)

Дано:
Отрезок \(AB\), точка \(C \in AB\), делит отрезок \(AB\) в отношении \(m : n\). Точка \(O\) — любая.
Необходимо доказать:
\[
\vec{OC} = \frac{n}{m+n} \vec{OA} + \frac{m}{m+n} \vec{OB}.
\)

Решение:

1. Из условия \(AC : CB = m : n\) следует:
\[
\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}, \quad AC \cdot n = CB \cdot m, \quad AC = \frac{m}{n} CB.
\)

2. По правилу треугольника:
\[
\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}.
\)

3. Подставим \(\vec{AC}\):
\[
\vec{AC} = \frac{m}{n} \vec{CB} = \frac{m}{n} (\vec{OB} — \vec{OC}).
\)

4. Раскроем скобки:
\[
\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} (\vec{OB} — \vec{OC}).
\)

5. Перенесем все \(\vec{OC}\) в одну сторону:
\[
\vec{OC} + \frac{m}{n} \vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\)

6. Вынесем \(\vec{OC}\):
\[
\vec{OC} \left( 1 + \frac{m}{n} \right) = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\)

7. Приведем к общему знаменателю:
\[
\vec{OC} \cdot \frac{n+m}{n} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\)

8. Умножим обе части на \(\frac{n}{n+m}\):
\[
\vec{OC} = \frac{n}{n+m} \vec{OA} + \frac{m}{n+m} \vec{OB}.
\)

Доказано.

Дано:

Отрезок \(AB\), точка \(C \in AB\), делит отрезок \(AB\) в отношении \(m : n\). Точка \(O\) — любая.

Необходимо доказать:
\(
\vec{OC} = \frac{n}{m+n} \vec{OA} + \frac{m}{m+n} \vec{OB}.
\)

Решение:

1. Сначала выразим отношение длин отрезков \(AC\) и \(CB\) из условия \(AC : CB = m : n\).
Так как \(AC : CB = m : n\), то:
\(
\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}, \quad AC \cdot n = CB \cdot m.
\)
Отсюда:
\(
AC = \frac{m}{n} CB.
\)

2. По правилу треугольника для векторов:
\(
\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}.
\)

3. Подставим выражение для \(\vec{AC}\) через \(\vec{CB}\):
\(
\vec{AC} = \frac{m}{n} \vec{CB}.
\)
Вектор \(\vec{CB}\) можно записать как разность векторов:
\(
\vec{CB} = \vec{OB} — \vec{OC}.
\)
Следовательно:
\(
\vec{AC} = \frac{m}{n} (\vec{OB} — \vec{OC}).
\)

4. Подставим это выражение для \(\vec{AC}\) в формулу для \(\vec{OC}\):
\(
\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} (\vec{OB} — \vec{OC}).
\)

5. Раскроем скобки:
\(
\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB} — \frac{m}{n} \vec{OC}.
\)

6. Перенесем все слагаемые с \(\vec{OC}\) в одну сторону:
\(
\vec{OC} + \frac{m}{n} \vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\)

7. Вынесем \(\vec{OC}\) за скобки:
\(
\vec{OC} \left( 1 + \frac{m}{n} \right) = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\)

8. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(
1 + \frac{m}{n} = \frac{n}{n} + \frac{m}{n} = \frac{n+m}{n}.
\)
Подставим это в уравнение:
\(
\vec{OC} \cdot \frac{n+m}{n} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\)

9. Умножим обе части уравнения на \(\frac{n}{n+m}\), чтобы выразить \(\vec{OC}\):
\(
\vec{OC} = \frac{n}{n+m} \vec{OA} + \frac{m}{n+m} \vec{OB}.
\)

Таким образом, доказательство завершено.