Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 806 Атанасян — Подробные Ответы
806 Точка С делит отрезок АВ в отношении m : n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство
\[
\overrightarrow{OC} = \frac{n}{m+n} \cdot \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n} \cdot \overrightarrow{OB}.
\]
Дано:
Отрезок \(AB\), точка \(C \in AB\), делит отрезок \(AB\) в отношении \(m : n\). Точка \(O\) — любая.
Необходимо доказать:
\[
\vec{OC} = \frac{n}{m+n} \vec{OA} + \frac{m}{m+n} \vec{OB}.
\]
Решение:
1. Из условия \(AC : CB = m : n\) следует:
\[
\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}, \quad AC \cdot n = CB \cdot m, \quad AC = \frac{m}{n} CB.
\]
2. По правилу треугольника:
\[
\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}.
\]
3. Подставим \(\vec{AC}\):
\[
\vec{AC} = \frac{m}{n} \vec{CB} = \frac{m}{n} (\vec{OB} — \vec{OC}).
\]
4. Раскроем скобки:
\[
\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} (\vec{OB} — \vec{OC}).
\]
5. Перенесем все \(\vec{OC}\) в одну сторону:
\[
\vec{OC} + \frac{m}{n} \vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\]
6. Вынесем \(\vec{OC}\):
\[
\vec{OC} \left( 1 + \frac{m}{n} \right) = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\]
7. Приведем к общему знаменателю:
\[
\vec{OC} \cdot \frac{n+m}{n} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\]
8. Умножим обе части на \(\frac{n}{n+m}\):
\[
\vec{OC} = \frac{n}{n+m} \vec{OA} + \frac{m}{n+m} \vec{OB}.
\]
Доказано.
Дано:
Отрезок \(AB\), точка \(C \in AB\), делит отрезок \(AB\) в отношении \(m : n\). Точка \(O\) — любая.
Необходимо доказать:
\[
\vec{OC} = \frac{n}{m+n} \vec{OA} + \frac{m}{m+n} \vec{OB}.
\]
Решение:
1. Сначала выразим отношение длин отрезков \(AC\) и \(CB\) из условия \(AC : CB = m : n\).
Так как \(AC : CB = m : n\), то:
\[
\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}, \quad AC \cdot n = CB \cdot m.
\]
Отсюда:
\[
AC = \frac{m}{n} CB.
\]
2. По правилу треугольника для векторов:
\[
\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}.
\]
3. Подставим выражение для \(\vec{AC}\) через \(\vec{CB}\):
\[
\vec{AC} = \frac{m}{n} \vec{CB}.
\]
Вектор \(\vec{CB}\) можно записать как разность векторов:
\[
\vec{CB} = \vec{OB} — \vec{OC}.
\]
Следовательно:
\[
\vec{AC} = \frac{m}{n} (\vec{OB} — \vec{OC}).
\]
4. Подставим это выражение для \(\vec{AC}\) в формулу для \(\vec{OC}\):
\[
\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} (\vec{OB} — \vec{OC}).
\]
5. Раскроем скобки:
\[
\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB} — \frac{m}{n} \vec{OC}.
\]
6. Перенесем все слагаемые с \(\vec{OC}\) в одну сторону:
\[
\vec{OC} + \frac{m}{n} \vec{OC} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\]
7. Вынесем \(\vec{OC}\) за скобки:
\[
\vec{OC} \left( 1 + \frac{m}{n} \right) = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\]
8. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\[
1 + \frac{m}{n} = \frac{n}{n} + \frac{m}{n} = \frac{n+m}{n}.
\]
Подставим это в уравнение:
\[
\vec{OC} \cdot \frac{n+m}{n} = \vec{OA} + \frac{m}{n} \vec{OB}.
\]
9. Умножим обе части уравнения на \(\frac{n}{n+m}\), чтобы выразить \(\vec{OC}\):
\[
\vec{OC} = \frac{n}{n+m} \vec{OA} + \frac{m}{n+m} \vec{OB}.
\]
Таким образом, доказательство завершено.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.