Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 805 Атанасян — Подробные Ответы
805. Три точки \(A\), \(B\) и \(C\) расположены так, что \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\). Докажите, что для любой точки \(O\) справедливо равенство
\[
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\]
Дано: точки \(A\), \(B\), \(C\) произвольные, точка \(O\) — любая. Условие: \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\). Доказать: \(\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}\).
Решение:
1) По правилу треугольника:
\[
\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}.
\]
2) Из условия \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\), следовательно:
\[
\vec{AB} = 2 \vec{BC}.
\]
Так как \(\vec{BC} = \vec{OC} — \vec{OB}\), то:
\[
\vec{AB} = 2 (\vec{OC} — \vec{OB}).
\]
3) Подставим \(\vec{AB}\) в выражение \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}\):
\[
\vec{OB} = \vec{OA} + 2 (\vec{OC} — \vec{OB}).
\]
Упростим:
\[
\vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC} — 2 \vec{OB}.
\]
Сгруппируем:
\[
3 \vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC}.
\]
Разделим обе части на 3:
\[
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\]
Ответ:
\[
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\]
Дано: точки \(A\), \(B\), \(C\) произвольные, точка \(O\) — любая. Условие: \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\). Требуется доказать, что \(\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}\).
Решение:
1. По правилу треугольника:
\[
\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}.
\]
Это правило основано на сложении векторов: если точка \(B\) лежит на прямой между точками \(O\) и \(A\), то вектор \(\vec{OB}\) равен сумме векторов \(\vec{OA}\) и \(\vec{AB}\).
2. Из условия задачи известно, что \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\). Это означает, что длина вектора \(\vec{AB}\) в два раза больше длины вектора \(\vec{BC}\). Следовательно, можно выразить \(\vec{AB}\) через \(\vec{BC}\):
\[
\vec{AB} = 2 \vec{BC}.
\]
3. Вектор \(\vec{BC}\) можно записать через векторы \(\vec{OC}\) и \(\vec{OB}\), так как точка \(B\) лежит между точками \(O\) и \(C\):
\[
\vec{BC} = \vec{OC} — \vec{OB}.
\]
Подставим это выражение для \(\vec{BC}\) в формулу для \(\vec{AB}\):
\[
\vec{AB} = 2 (\vec{OC} — \vec{OB}).
\]
4. Теперь вернемся к формуле для \(\vec{OB}\), подставляя выражение для \(\vec{AB}\):
\[
\vec{OB} = \vec{OA} + 2 (\vec{OC} — \vec{OB}).
\]
Раскроем скобки:
\[
\vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC} — 2 \vec{OB}.
\]
5. Перенесем все слагаемые, содержащие \(\vec{OB}\), в одну сторону:
\[
\vec{OB} + 2 \vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC}.
\]
Сгруппируем:
\[
3 \vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC}.
\]
6. Разделим обе части уравнения на 3:
\[
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\]
Таким образом, мы получили требуемое выражение.
Ответ:
\[
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.