ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 805 Атанасян — Подробные Ответы

Три точки \(A\), \(B\) и \(C\) расположены так, что \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\). Докажите, что для любой точки \(O\) справедливо равенство
\(
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\)

Дано: точки \(A\), \(B\), \(C\) произвольные, точка \(O\) — любая. Условие: \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\). Доказать: \(\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}\).

Решение:

1) По правилу треугольника:
\(
\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}.
\)

2) Из условия \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\), следовательно:
\(
\vec{AB} = 2 \vec{BC}.
\)

Так как \(\vec{BC} = \vec{OC} — \vec{OB}\), то:
\(
\vec{AB} = 2 (\vec{OC} — \vec{OB}).
\)

3) Подставим \(\vec{AB}\) в выражение \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}\):
\(
\vec{OB} = \vec{OA} + 2 (\vec{OC} — \vec{OB}).
\)

Упростим:
\(
\vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC} — 2 \vec{OB}.
\)

Сгруппируем:
\(
3 \vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC}.
\)

Разделим обе части на 3:
\(
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\)

Ответ:
\(
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\)

Дано: точки \(A\), \(B\), \(C\) произвольные, точка \(O\) — любая. Условие: \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\). Требуется доказать, что \(\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}\).

Решение:

1. По правилу треугольника:
\(
\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}.
\)
Это правило основано на сложении векторов: если точка \(B\) лежит на прямой между точками \(O\) и \(A\), то вектор \(\vec{OB}\) равен сумме векторов \(\vec{OA}\) и \(\vec{AB}\).

2. Из условия задачи известно, что \(\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\). Это означает, что длина вектора \(\vec{AB}\) в два раза больше длины вектора \(\vec{BC}\). Следовательно, можно выразить \(\vec{AB}\) через \(\vec{BC}\):
\(
\vec{AB} = 2 \vec{BC}.
\)

3. Вектор \(\vec{BC}\) можно записать через векторы \(\vec{OC}\) и \(\vec{OB}\), так как точка \(B\) лежит между точками \(O\) и \(C\):
\(
\vec{BC} = \vec{OC} — \vec{OB}.
\)

Подставим это выражение для \(\vec{BC}\) в формулу для \(\vec{AB}\):
\(
\vec{AB} = 2 (\vec{OC} — \vec{OB}).
\)

4. Теперь вернемся к формуле для \(\vec{OB}\), подставляя выражение для \(\vec{AB}\):
\(
\vec{OB} = \vec{OA} + 2 (\vec{OC} — \vec{OB}).
\)

Раскроем скобки:
\(
\vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC} — 2 \vec{OB}.
\)

5. Перенесем все слагаемые, содержащие \(\vec{OB}\), в одну сторону:
\(
\vec{OB} + 2 \vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC}.
\)

Сгруппируем:
\(
3 \vec{OB} = \vec{OA} + 2 \vec{OC}.
\)

6. Разделим обе части уравнения на 3:
\(
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\)

Таким образом, мы получили требуемое выражение.

Ответ:
\(
\vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OC}.
\)