Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 801 Атанасян — Подробные Ответы
801. Докажите, что для любых векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) справедливы неравенства:
\[
|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \leq |\vec{x} + \vec{y}|.
\]
Дано: два вектора \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).
Необходимо доказать: \(|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \leq |\vec{x} + \vec{y}|\).
Решение:
1. Рассмотрим случай, когда \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — неколлинеарные векторы.
По правилу треугольника:
\(AB = |\vec{x}|\), \(BC = |\vec{y}|\), \(AC = |\vec{x} + \vec{y}|\).
Стороны \(AB\), \(BC\), \(AC\) образуют треугольник \(\triangle ABC\), для которого выполняется неравенство треугольника:
\(AC < AB + BC\), то есть:
\(|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Следовательно:
\(|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \leq |\vec{x} + \vec{y}|\).
2. Рассмотрим случай, когда \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — коллинеарные векторы.
a) Если \(\vec{x} \uparrow\uparrow \vec{y}\) (векторы направлены в одну сторону), то:
\(|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
b) Если \(\vec{x} \uparrow\downarrow \vec{y}\) (векторы направлены в противоположные стороны), то:
\(|\vec{x} — \vec{y}| = ||\vec{x}| — |\vec{y}||\).
В обоих случаях выполняется:
\(|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \leq |\vec{x} + \vec{y}|\).
Таким образом, утверждение доказано.
Дано: два вектора \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).
Необходимо доказать:
\(|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \leq |\vec{x} + \vec{y}|\).
Рассмотрим два случая:
1. \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — неколлинеарные векторы.
2. \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — коллинеарные векторы.
Решение:
1. Рассмотрим случай, когда \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — неколлинеарные векторы.
По правилу треугольника для векторов:
\(|\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Пусть \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — стороны треугольника, а \(\vec{x} + \vec{y}\) — третья сторона. Тогда:
\(|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Кроме того, по свойству треугольника:
\(|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Следовательно, выполняется неравенство:
\(|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \leq |\vec{x} + \vec{y}|\).
2. Рассмотрим случай, когда \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — коллинеарные векторы.
Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) направлены в одну сторону (\(\vec{x} \uparrow\uparrow \vec{y}\)):
\(|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) направлены в противоположные стороны (\(\vec{x} \uparrow\downarrow \vec{y}\)):
\(|\vec{x} — \vec{y}| = ||\vec{x}| — |\vec{y}||\).
В обоих случаях выполняется неравенство:
\(|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \leq |\vec{x} + \vec{y}|\).
Таким образом, доказательство завершено.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.