Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 791 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Дано: \(ABCD\) — четырехугольник, \(BN = NC\), \(CF = FD\), \(BE = EA\), \(AM = MD\), \(EF \perp NM = 0\).
Доказать: \(NO = OM\), \(EO = OF\).
Решение:
1. Запишем уравнения для сумм векторов:
\[
— EA + AM + MD + DF = EO + OF
\]
\[
— MA + AE + EB + BN = MO + ON
\]
2. Выразим \(EO\) и \(MO\) из данных уравнений:
\[
— EA + 2AM + DF = EO + OF
\]
\[
— MA + 2AE + BN = MO + ON
\]
3. Из выражений выше получаем равенства:
\[
AM + DF = MO + OF
\]
\[
AE + BN = EO + ON
\]
4. Учитывая, что \(2AM + 2DF = AC\) и \(2AE + 2BN = AC\), получаем:
\[
AM + DF = AE + BN
\]
5. Из равенства \(MO + OF = EO + ON\) следует, что \(MO — ON = EO — OF\).
6. Так как \(MO \parallel ON\) и \(EO \parallel OF\), а также \(EO, OF, MO, ON\) не коллинеарны, то:
\[
NO = OM, \quad EO = OF
\]
Ответ: доказано.
Дано: \(ABCD\) — четырехугольник, \(BN = NC\), \(CF = FD\), \(BE = EA\), \(AM = MD\), \(EF \perp NM = 0\).
Доказать: \(NO = OM\), \(EO = OF\).
Решение:
1. Рассмотрим свойства четырехугольника \(ABCD\), где выполняются условия равенства частей сторон и перпендикулярности \(EF \perp NM\).
Условие \(BN = NC\) говорит о том, что точка \(N\) делит отрезок \(BC\) пополам.
Условие \(CF = FD\) говорит о том, что точка \(F\) делит отрезок \(CD\) пополам.
Условие \(BE = EA\) говорит о том, что точка \(E\) делит отрезок \(BA\) пополам.
Условие \(AM = MD\) говорит о том, что точка \(M\) делит отрезок \(AD\) пополам.
2. Введем обозначения:
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(EF\) и \(NM\).
Так как \(EF \perp NM\), то диагонали пересекаются под прямым углом.
3. Докажем, что \(NO = OM\).
Рассмотрим треугольник \(BNM\).
По условию \(BN = NC\), а \(NM\) является общей стороной этого треугольника.
Так как точка \(O\) лежит на середине отрезка \(NM\), то по свойству средней линии треугольника:
\[
NO = OM
\]
4. Докажем, что \(EO = OF\).
Рассмотрим треугольник \(AEF\).
По условию \(BE = EA\), а \(EF\) является общей стороной этого треугольника.
Так как точка \(O\) лежит на середине отрезка \(EF\), то по свойству средней линии треугольника:
\[
EO = OF
\]
5. Учитывая, что диагонали \(EF\) и \(NM\) пересекаются под прямым углом, а их точки пересечения делят диагонали пополам, получаем требуемое равенство:
\[
NO = OM, \quad EO = OF
\]
Ответ: доказано.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.