Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 789 Атанасян — Подробные Ответы
На сторонах треугольника \(ABC\) построены параллелограммы \(ABB_1A_2, BCC_1B_2, ACC_2A_1\). Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам \(A_1A_2, B_1B_2\) и \(C_1C_2\).
Дано: \(\triangle ABC\); \(ABB_1A_2\), \(BCC_1B_2\) и \(ACC_2A_1\) — параллелограммы.
Доказать: существует треугольник, стороны которого параллельны и равны \(A_1A_2\), \(B_1B_2\), \(C_1C_2\).
1. Если треугольник существует, то сумма векторов равна:
\[
\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2} + \overrightarrow{C_1C_2} = \overrightarrow{0}.
\]
2. По свойствам параллелограммов:
\[
\overrightarrow{AA_2} = \overrightarrow{BB_1}, \quad \overrightarrow{BB_2} = \overrightarrow{CC_1}, \quad \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{CC_2}.
\]
3. По правилу треугольников:
\[
\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AA_2}, \quad \overrightarrow{B_1B_2} = \overrightarrow{B_1B} + \overrightarrow{BB_2}, \quad \overrightarrow{C_1C_2} = \overrightarrow{C_1C} + \overrightarrow{CC_2}.
\]
4. Складываем равенства:
\[
\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2} + \overrightarrow{C_1C_2} = (\overrightarrow{A_1C} + \overrightarrow{CC_2}) + (\overrightarrow{AA_2} + \overrightarrow{BB_1}) + (\overrightarrow{BB_2} + \overrightarrow{CC}) = \overrightarrow{0}.
\]
Таким образом, существует треугольник, стороны которого равны и параллельны \(A_1A_2\), \(B_1B_2\), \(C_1C_2\).
Дано: \(\triangle ABC\); \(ABB_1A_2\), \(BCC_1B_2\) и \(ACC_2A_1\) — параллелограммы.
Необходимо доказать, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\).
Решение:
1. Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{A_1A_2} \). По правилу треугольников, он раскладывается как:
\[
\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AA_2}.
\]
Аналогично для векторов \( \overrightarrow{B_1B_2} \) и \( \overrightarrow{C_1C_2} \):
\[
\overrightarrow{B_1B_2} = \overrightarrow{B_1B} + \overrightarrow{BB_2},
\]
\[
\overrightarrow{C_1C_2} = \overrightarrow{C_1C} + \overrightarrow{CC_2}.
\]
2. Используем свойства параллелограммов. Для параллелограмма \(ABB_1A_2\) выполняется равенство:
\[
\overrightarrow{AA_2} = \overrightarrow{BB_1}.
\]
Для параллелограмма \(BCC_1B_2\):
\[
\overrightarrow{BB_2} = \overrightarrow{CC_1}.
\]
Для параллелограмма \(ACC_2A_1\):
\[
\overrightarrow{CC_2} = \overrightarrow{AA_1}.
\]
3. Подставим эти выражения в формулы для векторов:
\[
\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{BB_1},
\]
\[
\overrightarrow{B_1B_2} = \overrightarrow{B_1B} + \overrightarrow{CC_1},
\]
\[
\overrightarrow{C_1C_2} = \overrightarrow{C_1C} + \overrightarrow{AA_1}.
\]
4. Найдем сумму векторов \( \overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2} + \overrightarrow{C_1C_2} \):
\[
\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2} + \overrightarrow{C_1C_2} = (\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{BB_1}) + (\overrightarrow{B_1B} + \overrightarrow{CC_1}) + (\overrightarrow{C_1C} + \overrightarrow{AA_1}).
\]
Сгруппируем векторы:
\[
\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2} + \overrightarrow{C_1C_2} = (\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AA_1}) + (\overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{B_1B}) + (\overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{C_1C}).
\]
Каждая из скобок равна нулю:
\[
\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{0},
\]
\[
\overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{0},
\]
\[
\overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{0}.
\]
Следовательно:
\[
\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2} + \overrightarrow{C_1C_2} = \overrightarrow{0}.
\]
5. Если сумма векторов равна нулю, то по правилу треугольника существует треугольник, стороны которого равны и параллельны векторам \( \overrightarrow{A_1A_2} \), \( \overrightarrow{B_1B_2} \), \( \overrightarrow{C_1C_2} \).
Ответ: существует треугольник, стороны которого равны и параллельны \( A_1A_2 \), \( B_1B_2 \), \( C_1C_2 \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.