ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 788 Атанасян — Подробные Ответы

Дан произвольный треугольник \(ABC\). Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника \(ABC\).

Решение

Пусть \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — медианы треугольника \(ABC\). Тогда
\[
AA_1 = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}), \quad BB_1 = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}), \quad CC_1 = \frac{1}{2} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})
\]
(см. задачу 1, п. 87).

Сложив эти равенства, получим
\[
AA_1 + BB_1 + CC_1 = \frac{1}{2} \left( (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC}) \right) = \overrightarrow{0}.
\]

Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) по правилу многоугольника (п. 84), то получим треугольник, удовлетворяющий условиям задачи (треугольник \(MNP\) на рисунке 267).

Пусть \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — медианы треугольника \(ABC\). Тогда:
\[ AA_1 = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}), \]
\[ BB_1 = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}), \]
\[ CC_1 = \frac{1}{2} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}). \]

Сложим эти равенства:
\[ AA_1 + BB_1 + CC_1 = \frac{1}{2} \left( (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC}) \right). \]

Так как сумма противоположных векторов равна нулю (\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}\)), то:
\[ AA_1 + BB_1 + CC_1 = \overrightarrow{0}. \]

Следовательно, если построить сумму векторов \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) по правилу многоугольника, то получится треугольник, стороны которого равны медианам треугольника \(ABC\).

Дано:
\(\Delta DEF\), \(EG\) — медиана, \(EO = OG\), \(\vec{a} = \overrightarrow{ED}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{EF}\).

Требуется выразить \(\overrightarrow{DO}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Решение:

1. Сначала найдем \(\overrightarrow{DF}\).
По условию треугольника \(\Delta DEF\), выполняется равенство:
\[
\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DF}.
\]
Отсюда:
\[
\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{EF} — \overrightarrow{ED}.
\]
Подставляем значения векторов:
\[
\overrightarrow{DF} = \vec{b} — \vec{a}.
\]

2. Точка \(G\) является серединой отрезка \(DF\). Следовательно, ее радиус-вектор определяется как:
\[
\overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DF}.
\]
Подставляем значение \(\overrightarrow{DF}\):
\[
\overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}).
\]

Теперь найдем радиус-вектор точки \(G\) относительно точки \(E\):
\[
\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DE}.
\]
Подставляем значения:
\[
\overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) + \vec{a}.
\]
Раскрываем скобки:
\[
\overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \vec{b} — \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{a}.
\]
Приводим подобные:
\[
\overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\]

3. Точка \(O\) является серединой отрезка \(EG\). Следовательно, ее радиус-вектор относительно точки \(E\) равен:
\[
\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GE}.
\]
Подставляем значение \(\overrightarrow{GE}\):
\[
\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} \right).
\]
Выполняем умножение:
\[
\overrightarrow{EO} = \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\]

4. Теперь найдем радиус-вектор точки \(O\) относительно точки \(D\):
\[
\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GO}.
\]
Так как \(\overrightarrow{GO} = \overrightarrow{EO}\), имеем:
\[
\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{EO}.
\]
Подставляем значение \(\overrightarrow{DG}\):
\[
\overrightarrow{DG} = -\overrightarrow{GD}.
\]
Отсюда:
\[
\overrightarrow{DG} = -\frac{1}{2} (\vec{b} — \vec{a}) = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\]
Подставляем значения \(\overrightarrow{DG}\) и \(\overrightarrow{EO}\) в формулу для \(\overrightarrow{DO}\):
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\]
Приводим подобные:
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\]
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{2}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{2}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{a}.
\]
\[
\overrightarrow{DO} = -\frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\]

Ответ:
\[
\overrightarrow{DO} = -0,25 \vec{b} + 0,75 \vec{a}.
\]