ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 786 Атанасян — Подробные Ответы

Отрезки \(AA_1, BB_1\) и \(CC_1\) — медианы треугольника \(ABC\). Выразите векторы \(\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AC}\) и \(\vec{b} = \vec{AB}\).

Дано: \(\Delta ABC\), медианы \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\); \(\vec{a} = \overrightarrow{AC}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{AB}\).

Решение:

1. Для \(BB_1\):
\(
BB_1 = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB_1} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = -\vec{b} + 0{,}5 \vec{a}.
\)

2. Для \(CC_1\):
\(
CC_1 = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = -\vec{a} + 0{,}5 \vec{b}.
\)

3. Для \(AA_1\):
\(
AA_1 = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \vec{b} + 0{,}5(-\vec{b} + \vec{a}) = 0{,}5 \vec{b} + 0{,}5 \vec{a}.
\)

Ответ:
\(
BB_1 = -\vec{b} + 0{,}5 \vec{a}, \quad CC_1 = -\vec{a} + 0{,}5 \vec{b}, \quad AA_1 = 0{,}5 \vec{b} + 0{,}5 \vec{a}.
\)

Дано:
\(\Delta ABC\), медианы \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\); \(\vec{a} = \overrightarrow{AC}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{AB}\).

Необходимо выразить векторные представления медиан \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\).

Решение:

1. Рассмотрим медиану \(BB_1\):
Точка \(B_1\) является серединой стороны \(AC\), следовательно:
\(
\overrightarrow{AB_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}.
\)
Вектор \(\overrightarrow{BB_1}\) можно представить как:
\(
\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB_1}.
\)
Подставляем значения:
\(
\overrightarrow{BB_1} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}.
\)
Подставляем \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\) и \(\overrightarrow{AC} = \vec{a}\):
\(
\overrightarrow{BB_1} = -\vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\)
Или в десятичной форме:
\(
\overrightarrow{BB_1} = -\vec{b} + 0{,}5 \vec{a}.
\)

2. Рассмотрим медиану \(CC_1\):
Точка \(C_1\) является серединой стороны \(AB\), следовательно:
\(
\overrightarrow{BC_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}.
\)
Вектор \(\overrightarrow{CC_1}\) можно представить как:
\(
\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC_1}.
\)
Подставляем значения:
\(
\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}.
\)
Подставляем \(\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -\vec{a}\) и \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\):
\(
\overrightarrow{CC_1} = -\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}.
\)
Или в десятичной форме:
\(
\overrightarrow{CC_1} = -\vec{a} + 0{,}5 \vec{b}.
\)

3. Рассмотрим медиану \(AA_1\):
Точка \(A_1\) является серединой стороны \(BC\), следовательно:
\(
\overrightarrow{BA_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}.
\)
Вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) можно представить как:
\(
\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA_1}.
\)
Подставляем значения:
\(
\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}.
\)
Вектор \(\overrightarrow{BC}\) можно выразить как разность векторов:
\(
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}.
\)
Подставляем:
\(
\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.
\)
Подставляем \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\) и \(\overrightarrow{AC} = \vec{a}\):
\(
\overrightarrow{BC} = -\vec{b} + \vec{a}.
\)
Теперь вернемся к выражению для \(\overrightarrow{AA_1}\):
\(
\overrightarrow{AA_1} = \vec{b} + \frac{1}{2}(-\vec{b} + \vec{a}).
\)
Раскрываем скобки:
\(
\overrightarrow{AA_1} = \vec{b} — \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\)
Приводим подобные:
\(
\overrightarrow{AA_1} = \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}.
\)
Или в десятичной форме:
\(
\overrightarrow{AA_1} = 0{,}5 \vec{b} + 0{,}5 \vec{a}.
\)

Ответ:
\(
\overrightarrow{BB_1} = -\vec{b} + 0{,}5 \vec{a}, \quad \overrightarrow{CC_1} = -\vec{a} + 0{,}5 \vec{b}, \quad \overrightarrow{AA_1} = 0{,}5 \vec{b} + 0{,}5 \vec{a}.
\)