ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 785 Атанасян — Подробные Ответы

Точки \(M\) и \(N\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABCD\). Докажите, что
\(
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}).
\)

Дано: \(AM = MC\), \(BN = ND\).

По правилу многоугольников:
\(
MN = MA + AD + DN,
\)
\(
MN = MC + CB + BN.
\)

Складывая, получаем:
\(
2MN = (MA + MC) + (AD + CB) + (DN + BN).
\)

Так как \(MA + MC = 0\) и \(DN + BN = 0\), то:
\(
2MN = AD + CB.
\)

Отсюда:
\(
MN = \frac{1}{2} (AD + CB).
\)
Что и требовалось доказать.

Дано: \(AM = MC\), \(BN = ND\).

Требуется доказать, что \(MN = \frac{1}{2}(AD + CB)\).

Рассмотрим решение:

1. По правилу многоугольников выражаем вектор \(MN\) двумя способами:
\(
MN = MA + AD + DN,
\)
\(
MN = MC + CB + BN.
\)

2. Складываем два выражения для \(MN\):
\(
2MN = (MA + MC) + (AD + CB) + (DN + BN).
\)

3. Заметим, что \(MA + MC = 0\), так как \(AM = MC\), а также \(DN + BN = 0\), так как \(BN = DN\). Это следует из того, что векторы \(MA\) и \(MC\) противоположны, как и \(DN\) и \(BN\).

4. Подставляем эти результаты в уравнение:
\(
2MN = AD + CB.
\)

5. Делим обе части на 2:
\(
MN = \frac{1}{2}(AD + CB).
\)

Таким образом, доказательство завершено:
\(
MN = \frac{1}{2}(AD + CB).
\)