Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 783 Атанасян — Подробные Ответы
Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\), причём \(BM : MC = 3 : 1\). Выразите векторы \(\vec{AM}\) и \(\vec{MD}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AD}\) и \(\vec{b} = \vec{AB}\).
Дано:
\[ BM : MC = 3 : 1, \quad AD = \vec{a}, \quad AB = \vec{b} \]
Требуется выразить \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MD}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Из условия \(BM : MC = 3 : 1\) следует, что точка \(M\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(3 : 1\), а длина \(BM\) составляет \(\frac{3}{4}\) от длины \(BC\):
\[
BM = \frac{3}{4} BC.
\]
Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(BC = AD = \vec{a}\). Следовательно,
\[
\overrightarrow{BM} = \frac{3}{4} \vec{a}.
\]
Вектор \(\overrightarrow{AM}\) равен:
\[
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\]
Приведем к стандартному виду:
\[
\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b}.
\]
Для нахождения \(\overrightarrow{MD}\) используем правило:
\[
\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD}.
\]
Подставим \(\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{a}\):
\[
\frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} + \overrightarrow{MD} = \vec{a}.
\]
Выразим \(\overrightarrow{MD}\):
\[
\overrightarrow{MD} = \vec{a} — \left(\frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b}\right).
\]
Раскроем скобки:
\[
\overrightarrow{MD} = \vec{a} — \frac{3}{4} \vec{a} — \vec{b}.
\]
Приведем коэффициенты у \(\vec{a}\):
\[
\overrightarrow{MD} = \frac{1}{4} \vec{a} — \vec{b}.
\]
Ответ:
\[
\overrightarrow{AM} = 0,75 \vec{a} + \vec{b}, \quad \overrightarrow{MD} = 0,25 \vec{a} — \vec{b}.
\]
Дано:
\[ BM : MC = 3 : 1, \quad AD = \vec{a}, \quad AB = \vec{b} \]
Требуется выразить \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MD}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Решение:
1. Из условия \(BM : MC = 3 : 1\) следует, что точка \(M\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(3 : 1\). Это означает, что длина \(BM\) составляет \(\frac{3}{4}\) от длины \(BC\):
\[
BM = \frac{3}{4} BC.
\]
2. Заметим, что \(ABCD\) является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то есть \(AB \parallel CD\), \(AD \parallel BC\), \(AB = CD\), \(AD = BC\). Таким образом, вектор \(\overrightarrow{BC}\) равен вектору \(\overrightarrow{AD}\):
\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{a}.
\]
3. Теперь выразим вектор \(\overrightarrow{AM}\). По правилу сложения векторов:
\[
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}.
\]
4. Подставим известные значения. Вектор \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\), а вектор \(\overrightarrow{BM} = \frac{3}{4} \overrightarrow{BC} = \frac{3}{4} \vec{a}\):
\[
\overrightarrow{AM} = \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}.
\]
5. Приведем выражение к стандартному виду:
\[
\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b}.
\]
6. Далее выразим вектор \(\overrightarrow{MD}\). Используем правило, что сумма векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MD}\) равна вектору \(\overrightarrow{AD}\):
\[
\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD}.
\]
7. Вектор \(\overrightarrow{AD}\) равен \(\vec{a}\). Подставим это в равенство:
\[
\frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} + \overrightarrow{MD} = \vec{a}.
\]
8. Выразим \(\overrightarrow{MD}\):
\[
\overrightarrow{MD} = \vec{a} — \left(\frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b}\right).
\]
9. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[
\overrightarrow{MD} = \vec{a} — \frac{3}{4} \vec{a} — \vec{b}.
\]
10. Приведем коэффициенты у \(\vec{a}\):
\[
\overrightarrow{MD} = \frac{1}{4} \vec{a} — \vec{b}.
\]
Ответ:
\[
\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b}, \quad \overrightarrow{MD} = \frac{1}{4} \vec{a} — \vec{b}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.