ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 779 Атанасян — Подробные Ответы

Дан вектор \(\vec{p} = 3\vec{a}\), где \(\vec{a} \neq 0\). Как направлен каждый из векторов \(\vec{a}\), \(-\vec{a}\), \(\frac{1}{2}\vec{a}\), \(-2\vec{a}\), \(6\vec{a}\) по отношению к вектору \(\vec{p}\)? Выразите длины этих векторов через \(|\vec{p}|\).

Дано: \( \vec{p} = 3\vec{a} \), где \( \vec{a} \neq 0 \).

Решение:

1. Направления:
— \( \vec{p} \) и \( \vec{a} \) направлены одинаково.
— \( \vec{p} \) и \( -\vec{a} \) направлены противоположно.
— \( \vec{p} \) и \( \frac{1}{2}\vec{a} \) направлены одинаково.
— \( \vec{p} \) и \( -2\vec{a} \) направлены противоположно.
— \( \vec{p} \) и \( 6\vec{a} \) направлены одинаково.

2. Длины:
— \( |\vec{a}| = \frac{|\vec{p}|}{3} \).
— \( |-\vec{a}| = \frac{|\vec{p}|}{3} \).
— \( \left|\frac{1}{2}\vec{a}\right| = \frac{|\vec{p}|}{6} \).
— \( |-2\vec{a}| = \frac{2|\vec{p}|}{3} \).
— \( |6\vec{a}| = 2|\vec{p}| \).

Дано: \( \vec{p} = 3\vec{a} \), где \( \vec{a} \neq 0 \).

Необходимо:
1) Определить направление каждого из векторов \( \vec{a}, -\vec{a}, \frac{1}{2}\vec{a}, -2\vec{a}, 6\vec{a} \) по отношению к \( \vec{p} \).
2) Выразить длины этих векторов через \( |\vec{p}| \).

Решение:

1. Направление векторов:
Направление определяется знаком коэффициента при \( \vec{a} \):
— Если коэффициент положительный, то векторы \( \vec{p} \) и данный вектор направлены одинаково.
— Если коэффициент отрицательный, то векторы \( \vec{p} \) и данный вектор направлены противоположно.

Рассмотрим каждый случай:
а) \( \vec{a} \):
Коэффициент перед \( \vec{a} \) равен \( 1 > 0 \). Следовательно, \( \vec{p} \) и \( \vec{a} \) имеют одинаковое направление.

б) \( -\vec{a} \):
Коэффициент перед \( \vec{a} \) равен \( -1 < 0 \). Следовательно, \( \vec{p} \) и \( -\vec{a} \) имеют противоположное направление.

в) \( \frac{1}{2}\vec{a} \):
Коэффициент перед \( \vec{a} \) равен \( \frac{1}{2} > 0 \). Следовательно, \( \vec{p} \) и \( \frac{1}{2}\vec{a} \) имеют одинаковое направление.

г) \( -2\vec{a} \):
Коэффициент перед \( \vec{a} \) равен \( -2 < 0 \). Следовательно, \( \vec{p} \) и \( -2\vec{a} \) имеют противоположное направление.

д) \( 6\vec{a} \):
Коэффициент перед \( \vec{a} \) равен \( 6 > 0 \). Следовательно, \( \vec{p} \) и \( 6\vec{a} \) имеют одинаковое направление.

2. Длины векторов:
Длина любого вектора равна модулю коэффициента при \( \vec{a} \), умноженному на длину \( |\vec{a}| \). Поскольку \( |\vec{p}| = 3|\vec{a}| \), выразим \( |\vec{a}| \) через \( |\vec{p}| \):
\[
|\vec{a}| = \frac{|\vec{p}|}{3}.
\]

Теперь вычислим длины каждого из данных векторов:
а) \( \vec{a} \):
\[
|\vec{a}| = \frac{|\vec{p}|}{3}.
\]

б) \( -\vec{a} \):
Длина \( -\vec{a} \) равна длине \( \vec{a} \), так как модуль отрицательного числа равен модулю положительного:
\[
|-\vec{a}| = |\vec{a}| = \frac{|\vec{p}|}{3}.
\]

в) \( \frac{1}{2}\vec{a} \):
Длина \( \frac{1}{2}\vec{a} \) равна половине длины \( \vec{a} \):
\[
\left|\frac{1}{2}\vec{a}\right| = \frac{1}{2}|\vec{a}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{|\vec{p}|}{3} = \frac{|\vec{p}|}{6}.
\]

г) \( -2\vec{a} \):
Длина \( -2\vec{a} \) равна удвоенной длине \( \vec{a} \):
\[
|-2\vec{a}| = 2|\vec{a}| = 2 \cdot \frac{|\vec{p}|}{3} = \frac{2|\vec{p}|}{3}.
\]

д) \( 6\vec{a} \):
Длина \( 6\vec{a} \) равна шестикратной длине \( \vec{a} \):
\[
|6\vec{a}| = 6|\vec{a}| = 6 \cdot \frac{|\vec{p}|}{3} = 2|\vec{p}|.
\]

Ответ:
1) Направления:
— \( \vec{p} \) и \( \vec{a} \) направлены одинаково,
— \( \vec{p} \) и \( -\vec{a} \) направлены противоположно,
— \( \vec{p} \) и \( \frac{1}{2}\vec{a} \) направлены одинаково,
— \( \vec{p} \) и \( -2\vec{a} \) направлены противоположно,
— \( \vec{p} \) и \( 6\vec{a} \) направлены одинаково.

2) Длины:
— \( |\vec{a}| = \frac{|\vec{p}|}{3} \),
— \( |-\vec{a}| = \frac{|\vec{p}|}{3} \),
— \( \left|\frac{1}{2}\vec{a}\right| = \frac{|\vec{p}|}{6} \),
— \( |-2\vec{a}| = \frac{2|\vec{p}|}{3} \),
— \( |6\vec{a}| = 2|\vec{p}| \).