ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 773 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что для любых двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) справедливо неравенство \(|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|\). В каком случае \(|\vec{x} — \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\)?

Для любых двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) справедливо неравенство \(|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|\). Неравенство выполняется в следующих случаях:

1) Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) неколлинеарны, то векторы \(\vec{x}\), \(\vec{y}\) и \(\vec{x} — \vec{y}\) образуют треугольник. Согласно неравенству треугольника:
\[
|\vec{x} — \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|.
\]

2) Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и противоположно направлены, то:
\[
|\vec{x} — \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|.
\]

3) Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и сонаправлены, то:
\[
|\vec{x} — \vec{y}| = ||\vec{x}| — |\vec{y}||.
\]

4) Если один из векторов равен нулю (\(\vec{x} = 0\) или \(\vec{y} = 0\)), то:
\[
|\vec{x} — \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|.
\]

Таким образом, неравенство выполняется всегда, а равенство достигается, если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и противоположно направлены или если один из векторов равен нулю.

Докажем, что для любых двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) справедливо неравенство
\(
|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|,
\)
и выясним, в каких случаях достигается равенство \(|\vec{x} — \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\).

Разберем все возможные случаи:

1) Пусть \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — неколлинеарные векторы.
В этом случае векторы \(\vec{x}\), \(\vec{y}\) и \(\vec{x} — \vec{y}\) образуют треугольник. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Таким образом:
\(
|\vec{x} — \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|.
\)
Здесь равенство невозможно, так как векторы \(\vec{x}\), \(\vec{y}\) и \(\vec{x} — \vec{y}\) не лежат на одной прямой.

2) Пусть \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и противоположно направлены.
Если \(\vec{x} = k\vec{y}\), где \(k < 0\), то векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) лежат на одной прямой, но имеют противоположные направления. В этом случае:
\(
|\vec{x} — \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|.
\)
Равенство достигается, так как длина результирующего вектора равна сумме длин исходных векторов.

3) Пусть \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и сонаправлены.
Если \(\vec{x} = k\vec{y}\), где \(k > 0\), то векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление. В этом случае:
\(
|\vec{x} — \vec{y}| = ||\vec{x}| — |\vec{y}||.
\)
Здесь равенство \(|\vec{x} — \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\) невозможно, так как при сонаправленных векторах длина разности всегда меньше суммы длин.

4) Пусть один из векторов равен нулю.
Если \(\vec{x} = 0\) или \(\vec{y} = 0\), то:
\(
|\vec{x} — \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|.
\)
Равенство достигается, так как длина результирующего вектора равна длине ненулевого вектора.

Итак, мы доказали, что для любых двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) справедливо неравенство
\(
|\vec{x} — \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|,
\)
а равенство достигается в двух случаях:
1) когда \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и противоположно направлены;
2) когда один из векторов равен нулю.