ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 772 Атанасян — Подробные Ответы

Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что \(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD}\), где \(X\) — произвольная точка плоскости.

Дано: ABCD — параллелограмм.
Необходимо доказать: \(XA + XC = XB + XD\).

Решение:

1) По правилу треугольника:
\(
XA — XB = BX + XA = \overrightarrow{BA}, \quad XD — XC = CX + XD = \overrightarrow{CD}.
\)

2) Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(\overrightarrow{BA} \parallel \overrightarrow{CD}\) и \(|\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{CD}|\), следовательно, \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\).

3) Из равенства \(\overrightarrow{XA} — \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{XD} — \overrightarrow{XC}\) следует, что:
\(
\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD}.
\)

Что и требовалось доказать.

Дано: ABCD — параллелограмм.
Необходимо доказать: \(XA + XC = XB + XD\).

Решение:

1. Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{XA}\) и \(\overrightarrow{XB}\).
Вектор \(\overrightarrow{XA}\) можно представить как сумму векторов:
\(
\overrightarrow{XA} = \overrightarrow{BX} + \overrightarrow{BA}.
\)
Аналогично, вектор \(\overrightarrow{XB}\) можно выразить через:
\(
\overrightarrow{XB} = \overrightarrow{BX}.
\)
Таким образом, разность векторов \(\overrightarrow{XA} — \overrightarrow{XB}\) будет равна:
\(
\overrightarrow{XA} — \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{BA}.
\)

2. Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{XD}\) и \(\overrightarrow{XC}\).
Вектор \(\overrightarrow{XD}\) можно представить как:
\(
\overrightarrow{XD} = \overrightarrow{CX} + \overrightarrow{CD}.
\)
Аналогично, вектор \(\overrightarrow{XC}\) можно выразить через:
\(
\overrightarrow{XC} = \overrightarrow{CX}.
\)
Таким образом, разность векторов \(\overrightarrow{XD} — \overrightarrow{XC}\) будет равна:
\(
\overrightarrow{XD} — \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{CD}.
\)

3. Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны:
\(
\overrightarrow{BA} \parallel \overrightarrow{CD}, \quad |\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{CD}|.
\)
Следовательно, векторы равны:
\(
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}.
\)

4. Из равенства \(\overrightarrow{XA} — \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{XD} — \overrightarrow{XC}\) и того, что \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\), следует:
\(
\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD}.
\)

Ответ: равенство доказано.