ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 770 Атанасян — Подробные Ответы

Дан параллелограмм \( ABCD \). Выразите вектор \( \vec{AC} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если:  

а) \( \vec{a} = \vec{AB} \), \( \vec{b} = \vec{BC} \);  

б) \( \vec{a} = \vec{CB} \), \( \vec{b} = \vec{CD} \);  

в) \( \vec{a} = \vec{AB} \), \( \vec{b} = \vec{DA} \).

Дано: \(\triangle ABC\), \(BB_1\) — медиана, \(\vec{x} = \overrightarrow{AB_1}\), \(\vec{y} = \overrightarrow{AB}\).
Необходимо выразить: \(B_1C\), \(BB_1\), \(BA\), \(BC\).

Решение:

1) Найдем \(B_1C\):
Точка \(B_1\) — середина стороны \(AC\), поэтому:
\[
B_1C = \overrightarrow{AB_1} = \vec{x}.
\]

2) Найдем \(BB_1\):
Вектор \(BB_1\) можно выразить как разность векторов \(AB\) и \(AB_1\) (по правилу треугольника):
\[
BB_1 = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AB_1}.
\]
Подставляем значения:
\[
BB_1 = \vec{y} — \vec{x}.
\]

3) Найдем \(BA\):
Вектор \(BA\) направлен противоположно вектору \(AB\), поэтому:
\[
BA = -\overrightarrow{AB}.
\]
Подставляем значения:
\[
BA = -\vec{y}.
\]

4) Найдем \(BC\):
Вектор \(BC\) можно выразить как разность векторов \(AC\) и \(AB\):
\[
BC = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}.
\]
Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно разложить через сумму векторов \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{B_1C}\):
\[
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{B_1C}.
\]
Подставляем это в выражение для \(BC\):
\[
BC = (\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{B_1C}) — \overrightarrow{AB}.
\]
Подставляем значения векторов:
\[
BC = (\vec{x} + \vec{x}) — \vec{y}.
\]
Складываем одинаковые векторы:
\[
BC = 2\vec{x} — \vec{y}.
\]

Ответ:
\(B_1C = \vec{x}\),
\(BB_1 = \vec{y} — \vec{x}\),
\(BA = -\vec{y}\),
\(BC = 2\vec{x} — \vec{y}\).

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм.
\(\vec{a} = \overrightarrow{AB}, \ \vec{b} = \overrightarrow{BC}\).
Необходимо выразить \(\overrightarrow{AC}\) в трех случаях.

Решение:

а) Используем правило треугольника:
Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно записать как сумму векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), поскольку они последовательно соединяют точки \(A\), \(B\) и \(C\):
\[
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.
\]
Подставляем значения:
\[
\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}.
\]

б) Используем правило треугольника и свойства противоположных сторон параллелограмма:
Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно выразить через сумму векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DC}\), так как они соединяют точки \(A\), \(D\) и \(C\):
\[
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}.
\]
Из свойств параллелограмма известно, что противоположные стороны равны и направлены противоположно. То есть:
\[
\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}, \ \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{CB}.
\]
Подставляем эти значения:
\[
\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CB} + (-\overrightarrow{CD}).
\]
Теперь заменяем \(\overrightarrow{CB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) на их обозначения:
\[
\overrightarrow{AC} = -\vec{a} + (-\vec{b}) = -\vec{a} — \vec{b}.
\]

в) Используем правило треугольника:
Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно выразить через сумму векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), так как они соединяют точки \(A\), \(B\) и \(D\):
\[
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.
\]
Из свойств параллелограмма известно, что противоположные стороны равны и направлены противоположно. То есть:
\[
\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{DA}.
\]
Подставляем это значение:
\[
\overrightarrow{AC} = \vec{a} + (-\vec{b}).
\]
Упрощаем выражение:
\[
\overrightarrow{AC} = \vec{a} — \vec{b}.
\]

Ответ:
а) \(\vec{a} + \vec{b}\);
б) \(-\vec{a} — \vec{b}\);
в) \(\vec{a} — \vec{b}\).