ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 770 Атанасян — Подробные Ответы

Дан параллелограмм \( ABCD \). Выразите вектор \( \vec{AC} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если:  

а) \( \vec{a} = \vec{AB} \), \( \vec{b} = \vec{BC} \);  

б) \( \vec{a} = \vec{CB} \), \( \vec{b} = \vec{CD} \);  

в) \( \vec{a} = \vec{AB} \), \( \vec{b} = \vec{DA} \).

Дано: параллелограмм \(ABCD\).

Выразить: \( \vec{AC} \).

Решение:

а) \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}\).

б) \(\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{BC} + (-\vec{CD}) = -\vec{CB} + (-\vec{CD}) = \)
\(=-\vec{a} + (-\vec{b}) = -\vec{a} — \vec{b}\).

в) \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AB} + (-\vec{DA}) = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} — \vec{b}\).

Ответ: а) \(\vec{a} + \vec{b}\); б) \(-\vec{a} — \vec{b}\); в) \(\vec{a} — \vec{b}\).

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм.
\(\vec{a} = \overrightarrow{AB}, \ \vec{b} = \overrightarrow{BC}\).
Необходимо выразить \(\overrightarrow{AC}\) в трех случаях.

Решение:

а) Используем правило треугольника:
Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно записать как сумму векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), поскольку они последовательно соединяют точки \(A\), \(B\) и \(C\):
\(
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.
\)
Подставляем значения:
\(
\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}.
\)

б) Используем правило треугольника и свойства противоположных сторон параллелограмма:
Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно выразить через сумму векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DC}\), так как они соединяют точки \(A\), \(D\) и \(C\):
\(
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}.
\)
Из свойств параллелограмма известно, что противоположные стороны равны и направлены противоположно. То есть:
\(
\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}, \ \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{CB}.
\)
Подставляем эти значения:
\(
\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CB} + (-\overrightarrow{CD}).
\)
Теперь заменяем \(\overrightarrow{CB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) на их обозначения:
\(
\overrightarrow{AC} = -\vec{a} + (-\vec{b}) = -\vec{a} — \vec{b}.
\)

в) Используем правило треугольника:
Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно выразить через сумму векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), так как они соединяют точки \(A\), \(B\) и \(D\):
\(
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.
\)
Из свойств параллелограмма известно, что противоположные стороны равны и направлены противоположно. То есть:
\(
\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{DA}.
\)
Подставляем это значение:
\(
\overrightarrow{AC} = \vec{a} + (-\vec{b}).
\)
Упрощаем выражение:
\(
\overrightarrow{AC} = \vec{a} — \vec{b}.
\)

Ответ:
а) \(\vec{a} + \vec{b}\);
б) \(-\vec{a} — \vec{b}\);
в) \(\vec{a} — \vec{b}\).