ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 765 Атанасян — Подробные Ответы

Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы
\(
\vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ}, \quad \vec{q} = (\vec{XY} — \vec{XZ}) + \vec{YZ}, \quad \vec{r} =\)
\( =(\vec{ZY} — \vec{XY}) — \vec{ZX}
\)
нулевые.

Для доказательства воспользуемся правилом многоугольника:

1. Докажем, что \( \vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ} = 0 \):
\(
\vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ} = \vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZX} = \vec{XX} = 0.
\)

2. Докажем, что \( \vec{q} = (\vec{XY} — \vec{XZ}) + \vec{YZ} = 0 \):
\(
\vec{q} = (\vec{XY} — \vec{XZ}) + \vec{YZ} = (\vec{XY} + \vec{ZX}) + \vec{YZ} =\)
\(=(\vec{XY} + \vec{YZ}) + \vec{ZX} = \vec{XZ} + \vec{ZX} = \vec{XX} = 0.
\)

3. Докажем, что \( \vec{z} = (\vec{ZY} — \vec{XY}) — \vec{ZX} = 0 \):
\(
\vec{z} = (\vec{ZY} — \vec{XY}) — \vec{ZX} = (\vec{ZY} + \vec{YX}) + \vec{XZ} = \vec{ZX} + \vec{XZ} = \vec{ZZ} = 0.
\)

Таким образом, \( \vec{p} = \vec{q} = \vec{z} = 0 \), что и требовалось доказать.

В задаче требуется доказать, что три выражения, заданные через векторы, равны нулю. Для этого используем правило многоугольника, которое утверждает, что сумма последовательных векторов, проходящих через все вершины многоугольника, равна нулевому вектору.

1. Рассмотрим первое выражение:
\(
\vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ}.
\)
Сгруппируем векторы:
\(
\vec{p} = \vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZX}.
\)
Применяя правило многоугольника, получаем, что сумма векторов, соединяющих точки \(X\), \(Y\), \(Z\), возвращает нас в исходную точку \(X\):
\(
\vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZX} = \vec{XX} = 0.
\)
Таким образом, доказано, что
\(
\vec{p} = 0.
\)

2. Рассмотрим второе выражение:
\(
\vec{q} = (\vec{XY} — \vec{XZ}) + \vec{YZ}.
\)
Раскроем скобки и сгруппируем векторы:
\(
\vec{q} = \vec{XY} + (-\vec{XZ}) + \vec{YZ}.
\)
Перепишем:
\(
\vec{q} = (\vec{XY} + \vec{YZ}) + \vec{ZX}.
\)
Снова применяем правило многоугольника:
\(
\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}.
\)
Подставляем:
\(
\vec{q} = \vec{XZ} + (-\vec{XZ}) = \vec{XX} = 0.
\)
Таким образом, доказано, что
\(
\vec{q} = 0.
\)

3. Рассмотрим третье выражение:
\(
\vec{z} = (\vec{ZY} — \vec{XY}) — \vec{ZX}.
\)
Раскроем скобки и сгруппируем векторы:
\(
\vec{z} = \vec{ZY} + (-\vec{XY}) + (-\vec{ZX}).
\)
Перепишем:
\(
\vec{z} = (\vec{ZY} + \vec{YX}) + \vec{XZ}.
\)
Применяем правило многоугольника:
\(
\vec{ZY} + \vec{YX} = \vec{ZX}.
\)
Подставляем:
\(
\vec{z} = \vec{ZX} + (-\vec{ZX}) = \vec{ZZ} = 0.
\)
Таким образом, доказано, что
\(
\vec{z} = 0.
\)

Итак, мы доказали, что \( \vec{p} = \vec{q} = \vec{z} = 0 \), что и требовалось доказать.