Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 765 Атанасян — Подробные Ответы
Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы
\[
\vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ}, \quad \vec{q} = (\vec{XY} — \vec{XZ}) + \vec{YZ}, \quad \vec{r} = (\vec{ZY} — \vec{XY}) — \vec{ZX}
\]
нулевые.
Для доказательства воспользуемся правилом многоугольника:
1. Докажем, что \( \vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ} = 0 \):
\[
\vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ} = \vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZX} = \vec{XX} = 0.
\]
2. Докажем, что \( \vec{q} = (\vec{XY} — \vec{XZ}) + \vec{YZ} = 0 \):
\[
\vec{q} = (\vec{XY} — \vec{XZ}) + \vec{YZ} = (\vec{XY} + \vec{ZX}) + \vec{YZ} = (\vec{XY} + \vec{YZ}) + \vec{ZX} = \vec{XZ} + \vec{ZX} = \vec{XX} = 0.
\]
3. Докажем, что \( \vec{z} = (\vec{ZY} — \vec{XY}) — \vec{ZX} = 0 \):
\[
\vec{z} = (\vec{ZY} — \vec{XY}) — \vec{ZX} = (\vec{ZY} + \vec{YX}) + \vec{XZ} = \vec{ZX} + \vec{XZ} = \vec{ZZ} = 0.
\]
Таким образом, \( \vec{p} = \vec{q} = \vec{z} = 0 \), что и требовалось доказать.
В задаче требуется доказать, что три выражения, заданные через векторы, равны нулю. Для этого используем правило многоугольника, которое утверждает, что сумма последовательных векторов, проходящих через все вершины многоугольника, равна нулевому вектору.
1. Рассмотрим первое выражение:
\[
\vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ}.
\]
Сгруппируем векторы:
\[
\vec{p} = \vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZX}.
\]
Применяя правило многоугольника, получаем, что сумма векторов, соединяющих точки \(X\), \(Y\), \(Z\), возвращает нас в исходную точку \(X\):
\[
\vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZX} = \vec{XX} = 0.
\]
Таким образом, доказано, что
\[
\vec{p} = 0.
\]
2. Рассмотрим второе выражение:
\[
\vec{q} = (\vec{XY} — \vec{XZ}) + \vec{YZ}.
\]
Раскроем скобки и сгруппируем векторы:
\[
\vec{q} = \vec{XY} + (-\vec{XZ}) + \vec{YZ}.
\]
Перепишем:
\[
\vec{q} = (\vec{XY} + \vec{YZ}) + \vec{ZX}.
\]
Снова применяем правило многоугольника:
\[
\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}.
\]
Подставляем:
\[
\vec{q} = \vec{XZ} + (-\vec{XZ}) = \vec{XX} = 0.
\]
Таким образом, доказано, что
\[
\vec{q} = 0.
\]
3. Рассмотрим третье выражение:
\[
\vec{z} = (\vec{ZY} — \vec{XY}) — \vec{ZX}.
\]
Раскроем скобки и сгруппируем векторы:
\[
\vec{z} = \vec{ZY} + (-\vec{XY}) + (-\vec{ZX}).
\]
Перепишем:
\[
\vec{z} = (\vec{ZY} + \vec{YX}) + \vec{XZ}.
\]
Применяем правило многоугольника:
\[
\vec{ZY} + \vec{YX} = \vec{ZX}.
\]
Подставляем:
\[
\vec{z} = \vec{ZX} + (-\vec{ZX}) = \vec{ZZ} = 0.
\]
Таким образом, доказано, что
\[
\vec{z} = 0.
\]
Итак, мы доказали, что \( \vec{p} = \vec{q} = \vec{z} = 0 \), что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.