Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 760 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \) справедливо неравенство
\(
|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|.
\)
Дано: векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) неколлинеарны.
Требуется доказать: \(|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Решение:
1. По правилу треугольника сумма векторов \(\vec{x} + \vec{y}\) равна вектору \(\vec{AC}\):
\(
\vec{x} + \vec{y} = \vec{AC}.
\)
2. Векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) неколлинеарны, следовательно, точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой. Отсюда \(\triangle ABC\) является треугольником.
3. По неравенству треугольника для треугольника \(ABC\):
\(
AC < AB + BC.
\)
4. Длины сторон треугольника равны:
\(
AC = |\vec{x} + \vec{y}|, \quad AB = |\vec{x}|, \quad BC = |\vec{y}|.
\)
5. Подставляя длины сторон в неравенство треугольника, получаем:
\(
|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|.
\)
Что и требовалось доказать.
Дано: векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) неколлинеарны.
Требуется доказать: \(|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\).
Решение:
1. Согласно правилу треугольника, сумма двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) равна вектору \(\vec{AC}\):
\(
\vec{x} + \vec{y} = \vec{AC}.
\)
2. Условие задачи утверждает, что векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) неколлинеарны. Это означает, что точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой. Следовательно, треугольник \(ABC\) существует и является треугольником.
3. Для треугольника \(ABC\) выполняется неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Для стороны \(AC\) это выражается как:
\(
AC < AB + BC.
\)
4. Обозначим длины сторон треугольника через нормы векторов:
\(
AC = |\vec{x} + \vec{y}|, \quad AB = |\vec{x}|, \quad BC = |\vec{y}|.
\)
5. Подставим значения длин сторон в неравенство треугольника:
\(
|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|.
\)
6. Таким образом, доказательство завершено, и утверждение \(|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\) верно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.