ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 750 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) равны, то середины отрезков \( AD \) и \( BC \) совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков \( AD \) и \( BC \) совпадают, то \( \vec{AB} = \vec{CD} \).

Дано:
\(
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
\)
Доказать:
\(
\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}, \quad AO = OD, \quad BO = OC
\)

Доказательство:
Поскольку \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), то \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|\) и \(\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}\). По признаку параллелограмма \(ABCD\) является параллелограммом. Следовательно, по свойству параллелограмма:
\(
\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}, \quad AO = OD, \quad BO = OC
\)
что и требовалось доказать.

Дано:
\(
\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}, \quad AO = OD, \quad BO = OC
\)
Доказать:
\(
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
\)

Доказательство:
Поскольку \(\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}\), \(AO = OD\), \(BO = OC\), то по признаку параллелограмма \(ABCD\) является параллелограммом. По определению параллелограмма:
\(
\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}, \quad |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|
\)
Следовательно:
\(
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
\)
что и требовалось доказать.

Дано:
\(
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
\)
Нужно доказать:
\(
\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}, \quad AO = OD, \quad BO = OC
\)

Решение:

1. Из условия \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) следует, что векторы равны по длине и направлению:
\(
|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}| \quad \text{и} \quad \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}.
\)

2. Так как \(\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}\) и равны их длины, то четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом (по признаку параллелограмма: если две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник — параллелограмм).

3. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны и равны. Следовательно:
\(
\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}.
\)

4. Также в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — это \(O\). Тогда:
\(
AO = OD \quad \text{и} \quad BO = OC.
\)

Таким образом, доказано, что:
\(
\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}, \quad AO = OD, \quad BO = OC.
\)

Дано:
\(
\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}, \quad AO = OD, \quad BO = OC
\)
Нужно доказать:
\(
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
\)

Решение:

1. Из условия \(\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}\), \(AO = OD\) и \(BO = OC\) следует, что четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом (по признаку параллелограмма: если диагонали точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник — параллелограмм).

2. В параллелограмме противоположные стороны попарно равны и параллельны. Следовательно:
\(
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
\)

Таким образом, доказано, что:
\(
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
\)