ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1099 Атанасян — Подробные Ответы

Правильный восьмиугольник А1А2…А8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник A3A4A7A8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R.

Дано:
— A1A2A3 … Ag — правильный восьмиугольник
— R — радиус описанной окружности

Решение:

1. Угол между соседними сторонами восьмиугольника:
\(U A_1A_2 = U A_2A_3 = U A_3A_4 = … = U A_gA_1 = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ\)

2. Сумма углов треугольника A7A1A3:
\(U A_7A_1A_3 = U A_7A_g + U A_gA_1 + U A_1A_2 + U A_2A_3 = 180^\circ\)
Значит, \(L A_3O A_7 = 180^\circ\)
Так как A3A7 — диаметр, то A3O = A7O = R.

3. Длины диагоналей A3A7 и A4Ag:
\(A_3A_7 = A_4A_g = 2R\)
(Так как A3A4, A7Ag — диагонали правильного восьмиугольника)

4. Площадь четырехугольника A3A4A7A8:
\(S = \frac{1}{2} \cdot A_3A_7 \cdot A_4A_8 \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

5. Угол ZAgOA = 45°

6. Площадь четырехугольника A3A4A7A8:
\(S = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R^2 \cdot \sqrt{2}\)

Ответ: \(S =R^2 \sqrt{2}\)

Дано:
— A1A2A3 … Ag — правильный восьмиугольник
— R — радиус описанной окружности

Шаг 1. Вычисление угла между соседними сторонами восьмиугольника

Угол между соседними сторонами восьмиугольника вычисляется по формуле:

\(U A_1A_2 = U A_2A_3 = U A_3A_4 = … = U A_gA_1 = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ\)

Шаг 2. Вычисление суммы углов треугольника A7A1A3

Сумма углов треугольника A7A1A3 равна:

\(U A_7A_1A_3 = U A_7A_g + U A_gA_1 + U A_1A_2 + U A_2A_3 = 180^\circ\)

Следовательно, угол L A3OA7 равен 180°.

Так как A3A7 — диаметр, то A3O = A7O = *R*.

Шаг 3. Вычисление длин диагоналей A3A7 и A4Ag

Длины диагоналей A3A7 и A4Ag равны:

\(A_3A_7 = A_4A_g = 2R\)

(Так как A3A4, A7Ag — диагонали правильного восьмиугольника)

Шаг 4. Вычисление площади четырехугольника A3A4A7A8

Площадь четырехугольника A3A4A7A8 вычисляется по формуле:

\(S = \frac{1}{2} \cdot A_3A_7 \cdot A_4A_8 \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Шаг 5. Вычисление угла ZAgOA

Угол ZAgOA равен 45°.

Шаг 6. Вычисление площади четырехугольника A3A4A7A8

Площадь четырехугольника A3A4A7A8 равна:

\(S = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R^2 \cdot \sqrt{2}\)

Ответ: Площадь четырехугольника A3A4A7A8 равна \(S =R^2 \sqrt{2}\)