Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1099 Атанасян — Подробные Ответы
Правильный восьмиугольник А1А2…А8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник A3A4A7A8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R.
Дано:
— A1A2A3 … Ag — правильный восьмиугольник
— R — радиус описанной окружности
Решение:
1. Угол между соседними сторонами восьмиугольника:
\[U A_1A_2 = U A_2A_3 = U A_3A_4 = … = U A_gA_1 = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ\]
2. Сумма углов треугольника A7A1A3:
\[U A_7A_1A_3 = U A_7A_g + U A_gA_1 + U A_1A_2 + U A_2A_3 = 180^\circ\]
Значит, \[L A_3O A_7 = 180^\circ\]
Так как A3A7 — диаметр, то A3O = A7O = R.
3. Длины диагоналей A3A7 и A4Ag:
\[A_3A_7 = A_4A_g = 2R\]
(Так как A3A4, A7Ag — диагонали правильного восьмиугольника)
4. Площадь четырехугольника A3A4A7A8:
\[S = \frac{1}{2} \cdot A_3A_7 \cdot A_4A_8 \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
5. Угол ZAgOA = 45°
6. Площадь четырехугольника A3A4A7A8:
\[S = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R^2 \cdot \sqrt{2}\]
Ответ: \[S =R^2 \sqrt{2}\]
Дано:
— A1A2A3 … Ag — правильный восьмиугольник
— R — радиус описанной окружности
Шаг 1. Вычисление угла между соседними сторонами восьмиугольника
Угол между соседними сторонами восьмиугольника вычисляется по формуле:
\[U A_1A_2 = U A_2A_3 = U A_3A_4 = … = U A_gA_1 = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ\]
Шаг 2. Вычисление суммы углов треугольника A7A1A3
Сумма углов треугольника A7A1A3 равна:
\[U A_7A_1A_3 = U A_7A_g + U A_gA_1 + U A_1A_2 + U A_2A_3 = 180^\circ\]
Следовательно, угол L A3OA7 равен 180°.
Так как A3A7 — диаметр, то A3O = A7O = *R*.
Шаг 3. Вычисление длин диагоналей A3A7 и A4Ag
Длины диагоналей A3A7 и A4Ag равны:
\[A_3A_7 = A_4A_g = 2R\]
(Так как A3A4, A7Ag — диагонали правильного восьмиугольника)
Шаг 4. Вычисление площади четырехугольника A3A4A7A8
Площадь четырехугольника A3A4A7A8 вычисляется по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot A_3A_7 \cdot A_4A_8 \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
Шаг 5. Вычисление угла ZAgOA
Угол ZAgOA равен 45°.
Шаг 6. Вычисление площади четырехугольника A3A4A7A8
Площадь четырехугольника A3A4A7A8 равна:
\[S = 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R^2 \cdot \sqrt{2}\]
Ответ: Площадь четырехугольника A3A4A7A8 равна \[S =R^2 \sqrt{2}\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.