ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1096 Атанасян — Подробные Ответы

Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

Решение:

1) Площадь равностороннего треугольника ABC: \(S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a\), где \(a = 2R \cdot \sqrt{3}\) и \(r = R \cdot \cos 60^\circ = \frac{a}{2\sqrt{3}}\).

2) Площадь квадрата ABCD: \(S_4 = a^2 = (2R)^2 = 4R^2\).

3) Площадь правильного шестиугольника ABCDEF: \(S_6 = \frac{1}{2} \cdot 6R \cdot \frac{a}{2} = 3\sqrt{3}R^2\).

Ответ: \(S_3 : S_4 : S_6 = \sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}\).

Дано:
— Треугольник ABC — равносторонний;
— Четырехугольник ABCD — квадрат;
— Многоугольник ABCDEF — правильный;
— \(a_3 = a_4 = a_6\).

Найти: \(S_3 : S_4 : S_6\).

Решение:

1. Площадь равностороннего треугольника ABC:
— Сторона треугольника: \(a = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}\)
— Радиус вписанной окружности: \(r = R \cdot \cos 60^\circ = \frac{R}{2}\)
— Площадь треугольника: \(S_3 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a = \frac{1}{2} \cdot \frac{R}{2} \cdot R\sqrt{3} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}\)

2. Площадь квадрата ABCD:
— Сторона квадрата: \(a_4 = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}\)
— Площадь квадрата: \(S_4 = a_4^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2\)

3. Площадь правильного шестиугольника ABCDEF:
— Сторона шестиугольника: \(a_6 = 2R \cdot \sin 30^\circ = 2R \cdot \frac{1}{2} = R\)
— Радиус вписанной окружности: \(r = R \cdot \cos 30^\circ = \frac{R}{2}\)
— Площадь шестиугольника: \(S_6 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot r \cdot a_6 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{R}{2} \cdot R = 3\sqrt{3}R^2\)

Ответ: \(S_3 : S_4 : S_6 = \frac{R^2\sqrt{3}}{4} : 2R^2 : 3\sqrt{3}R^2 = \sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}\)