ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1094 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите площадь S правильного n-угольника, если:
а) n = 4, R = \[3 \sqrt{2}\] см;
б) n = 3, P = 24 см;
в) n = 6, r = 9 см;
г) n = 8, r = \[5 \sqrt{3}\] см.

а) Дано: n = 4, R = 3/2 см
1) Длина стороны четырехугольника: a4 = 2·R·sin(180°/4) = 2·3/2·√2/2 = 3√2 = 6 см
2) Периметр четырехугольника: P = 4·a4 = 4·6 = 24 см
3) Радиус описанной окружности: r = R·cos(180°/4) = 3/2·√2/2 = 3/2 = 1,5 см
4) Площадь четырехугольника: S = 1/2·P·r = 1/2·24·1,5 = 18 см²

б) Дано: n = 3, P = 24 см
1) Длина стороны треугольника: a3 = P/(3·n) = 24/(3·3) = 8 см
2) Радиус описанной окружности: R = a3/sin(180°/3) = 8/√3/2 = 8√3/2 см
3) Радиус вписанной окружности: r = R·cos(180°/3) = 8√3/2·1/2 = 4/√3 см
4) Площадь треугольника: S = 1/2·P·r = 1/2·24·4/√3 = 16√3 см²

в) Дано: n = 6, r = 9 см
1) r = R·cos(180°/n) => 9 = R·cos(180°/6) => R = 18/√3 см
2) a6 = 2·R·sin(180°/n) = 2·(18/√3)·sin(30°) = 18/√3 см
3) P = 6·a6 = 6·(18/√3) = 36√3 см
4) S = 1/2·P·r = 1/2·36√3·9 = 162√3 см²

г) Дано: n = 8, r = 5/3 см
1) r = R·cos(180°/n) => 5√3 = R·cos(22°30′) => R = 5√3/cos(22°30′) см
2) a8 = 2·R·sin(180°/n) = 2·(5√3/cos(22°30′))·sin(22°30′) = 10√3·tg(22°30′) см
3) P = 8·a8 = 8·10√3·tg(22°30′) = 80√3·tg(22°30′) ≈ 33,136√3 см
4) S = 1/2·P·r = 1/2·33,136√3·5√3 = 248,52 см²

Ответ:
а) 36√3 см²
б) 16√3 см²
в) 162/3 см²
г) 248,52 см²

Решение:

а) Дано: n = 4, R = 3/2 см

1) Находим длину стороны четырехугольника:
a4 = 2·R·sin(180°/4)
\[a4 = 2\cdot\frac{3}{2}\cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right)\]
\[a4 = 2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\]
a4 = 6 см

2) Находим периметр четырехугольника:
P = 4·a4
P = 4·6 = 24 см

3) Находим радиус описанной окружности:
r = R·cos(180°/4)
\[r = \frac{3}{2}\cdot\cos\left(\frac{180^\circ}{4}\right)\]
\[r = \frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\]
r = 3 см

4) Находим площадь четырехугольника:
S = 1/2·P·r
S = 1/2·24·3 = 36 см²

б) Дано: n = 3, P = 24 см

1) Находим длину стороны треугольника:
a3 = P/(3·n)
a3 = 24/(3·3) = 8 см

2) Находим радиус описанной окружности:
R = a3/sin(180°/3)
\[R = \frac{8}{\sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right)}\]
\[R = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\cdot2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}\]
R = 8√3/2 см

3) Находим радиус вписанной окружности:
r = R·cos(180°/3)
\[r = \frac{16}{\sqrt{3}}\cdot\cos\left(\frac{180^\circ}{3}\right)\]
\[r = \frac{16}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{8}{\sqrt{3}}\]
r = 4/√3 см

4) Находим площадь треугольника:
S = 1/2·P·r
S = 1/2·24·4/√3 = 16√3 см²

В) Дано: n = 6; r = 9 см;
1) Для нахождения радиуса описанной окружности R используем формулу: r = R·cos(180°/n)
9 = R·cos(180°/6)
R = 9/cos(30°) = 18/√3 см

2) Длина стороны шестиугольника a6 находится по формуле: a6 = 2·R·sin(180°/n)
a6 = 2·(18/√3)·sin(30°) = 18/√3 см

3) Периметр шестиугольника P = n·a6
P = 6·(18/√3) = 36√3 см

4) Площадь шестиугольника S = (n·a6·r)/2
S = (6·18/√3·9)/2 = 162√3 см²

Г) Дано: n = 8; r = 5/3 см;
1) Для нахождения радиуса описанной окружности R используем формулу: r = R·cos(180°/n)
5√3 = R·cos(22°30′)
R = 5√3/cos(22°30′) см

2) Длина стороны восьмиугольника a8 находится по формуле: a8 = 2·R·sin(180°/n)
a8 = 2·(5√3/cos(22°30′))·sin(22°30′) = 10√3·tg(22°30′) см

3) Периметр восьмиугольника P = n·a8
P = 8·10√3·tg(22°30′) = 80√3·tg(22°30′) ≈ 33,136√3 см

4) Площадь восьмиугольника S = (n·a8·r)/2
S = (8·33,136√3·5/3)/2 = 248,52 см²

Ответ:
а) 36√3 см²
б) 16√3 см²
в) 162/3 см²
г) 248,52 см²