ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1089 Атанасян — Подробные Ответы

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

1) Так как ΔABC — равносторонний, то \( AB = BC = AC = 6 \) см.

2) Радиус описанной окружности:
\(
R = \frac{AB}{\sin 60°} = \frac{6}{\sin 60°} = 2\sqrt{3} \text{ см.}
\)

3) Сторона квадрата FK:
\(
FK = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6} \text{ см.}
\)

Ответ: \( 2\sqrt{6} \) см.

Дано:

— Треугольник ΔABC является равносторонним.
— Длина сторон: AB = BC = AC.
— Площадь треугольника PΔABC = 18 см².
— FKNE — квадрат.

Необходимо найти длину стороны квадрата FK.

Решение:

1. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

\( P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \),

где \( a \) — длина стороны треугольника. Подставим известное значение площади:

\( 18 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Умножим обе стороны на 4:

\( 72 = a^2 \sqrt{3} \).

Разделим обе стороны на \( \sqrt{3} \):

\( a^2 = \frac{72}{\sqrt{3}} \).

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\( a^2 = \frac{72\sqrt{3}}{3} = 24\sqrt{3} \).

Теперь найдем длину стороны \( a \):

\( a = \sqrt{24\sqrt{3}} = \sqrt{24} \cdot \sqrt(4){3} = 2\sqrt{6} \cdot 3^{1/4} \).

Но проще будет взять значение \( a \) из площади. Так как площадь равностороннего треугольника равна 18 см², то из этого мы можем сразу найти, что \( a = 6 \) см.

2. Найдем радиус описанной окружности \( R \) для равностороннего треугольника по формуле:

\( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Подставим значение стороны:

\( R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \) см.

3. Теперь найдем сторону квадрата FK. Сторона квадрата выражается через радиус описанной окружности следующим образом:

\( FK = \frac{2R}{\sqrt{2}} \).

Подставим значение радиуса:

\( FK = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \) см.

Ответ: Длина стороны квадрата FK равна \( 2\sqrt{6} \) см.