Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1077 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.
Для доказательства, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, и отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники, рассмотрим следующее:
а) Коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей, описанных около них:
\[k = \frac{R}{R_1}\]
где R и R_1 — радиусы окружностей, описанных около подобных треугольников.
б) Коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники:
\[k = \frac{r}{r_1}\]
где r и r_1 — радиусы окружностей, вписанных в подобные треугольники.
Таким образом, коэффициент подобия двух подобных треугольников действительно равен отношению радиусов окружностей, описанных около них, и отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.
Хорошо, вот полное решение с детализацией:
Пусть даны два подобных треугольника ΔABC и ΔDEF. Коэффициент подобия между ними обозначим как k.
Докажем, что коэффициент подобия k равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, а также отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.
а) Доказательство того, что k = R/R1, где R и R1 — радиусы окружностей, описанных около ΔABC и ΔDEF соответственно:
1) Так как треугольники подобны, то их стороны пропорциональны: AB/DE = BC/EF = AC/DF = k.
2) Радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине произведения длин сторон, деленному на площадь треугольника. Для ΔABC радиус R = abc/(4S), а для ΔDEF радиус R1 = def/(4S1).
3) Используя пропорциональность сторон, получаем: R/R1 = (abc)/(4S) / (def)/(4S1) = (abc)/(def) = k.
4) Таким образом, k = R/R1.
б) Доказательство того, что k = r/r1, где r и r1 — радиусы окружностей, вписанных в ΔABC и ΔDEF соответственно:
1) Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру. Для ΔABC r = S/p, а для ΔDEF r1 = S1/p1.
2) Используя подобие треугольников, получаем: S/p = kS1/p1, откуда r/r1 = p1/p = k.
3) Таким образом, k = r/r1.
Следовательно, коэффициент подобия двух подобных треугольников равен как отношению радиусов окружностей, описанных около них, так и отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.