ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1077 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.

Для доказательства, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, и отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники, рассмотрим следующее:

а) Коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей, описанных около них:
\(k = \frac{R}{R_1}\)
где R и R_1 — радиусы окружностей, описанных около подобных треугольников.

б) Коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники:
\(k = \frac{r}{r_1}\)
где r и r_1 — радиусы окружностей, вписанных в подобные треугольники.

Таким образом, коэффициент подобия двух подобных треугольников действительно равен отношению радиусов окружностей, описанных около них, и отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Доказательство 1: Коэффициент подобия и радиусы описанных окружностей

Пусть даны два подобных треугольника ΔABC и ΔDEF. Обозначим коэффициент подобия как \( k \).

1. Так как треугольники подобны, то их стороны пропорциональны:
\(
\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k.
\)

2. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине произведения длин сторон, деленному на площадь треугольника. Для ΔABC радиус \( R \) определяется как:
\(
R = \frac{abc}{4S},
\)
а для ΔDEF радиус \( R_1 \):
\(
R_1 = \frac{def}{4S_1}.
\)

3. Используя пропорциональность сторон, получаем:
\(
\frac{R}{R_1} = \frac{\frac{abc}{4S}}{\frac{def}{4S_1}} = \frac{abc}{def} = k.
\)

4. Таким образом, мы заключаем, что:
\(
k = \frac{R}{R_1}.
\)

Доказательство 2: Коэффициент подобия и радиусы вписанных окружностей

Теперь рассмотрим радиусы вписанных окружностей.

1. Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру. Для ΔABC радиус \( r \) определяется как:
\(
r = \frac{S}{p},
\)
а для ΔDEF радиус \( r_1 \):
\(
r_1 = \frac{S_1}{p_1}.
\)

2. Используя подобие треугольников, получаем:
\(
\frac{S}{p} = k \cdot \frac{S_1}{p_1},
\)
откуда:
\(
\frac{r}{r_1} = \frac{p_1}{p} = k.
\)

3. Таким образом, мы заключаем, что:
\(
k = \frac{r}{r_1}.
\)

Заключение

Следовательно, коэффициент подобия двух подобных треугольников равен как отношению радиусов окружностей, описанных около них, так и отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники:
\(
k = \frac{R}{R_1} = \frac{r}{r_1}.
\)