Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1077 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.
Для доказательства, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, и отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники, рассмотрим следующее:
а) Коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей, описанных около них:
\(k = \frac{R}{R_1}\)
где R и R_1 — радиусы окружностей, описанных около подобных треугольников.
б) Коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники:
\(k = \frac{r}{r_1}\)
где r и r_1 — радиусы окружностей, вписанных в подобные треугольники.
Таким образом, коэффициент подобия двух подобных треугольников действительно равен отношению радиусов окружностей, описанных около них, и отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.
Доказательство 1: Коэффициент подобия и радиусы описанных окружностей
Пусть даны два подобных треугольника ΔABC и ΔDEF. Обозначим коэффициент подобия как \( k \).
1. Так как треугольники подобны, то их стороны пропорциональны:
\(
\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k.
\)
2. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине произведения длин сторон, деленному на площадь треугольника. Для ΔABC радиус \( R \) определяется как:
\(
R = \frac{abc}{4S},
\)
а для ΔDEF радиус \( R_1 \):
\(
R_1 = \frac{def}{4S_1}.
\)
3. Используя пропорциональность сторон, получаем:
\(
\frac{R}{R_1} = \frac{\frac{abc}{4S}}{\frac{def}{4S_1}} = \frac{abc}{def} = k.
\)
4. Таким образом, мы заключаем, что:
\(
k = \frac{R}{R_1}.
\)
Доказательство 2: Коэффициент подобия и радиусы вписанных окружностей
Теперь рассмотрим радиусы вписанных окружностей.
1. Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру. Для ΔABC радиус \( r \) определяется как:
\(
r = \frac{S}{p},
\)
а для ΔDEF радиус \( r_1 \):
\(
r_1 = \frac{S_1}{p_1}.
\)
2. Используя подобие треугольников, получаем:
\(
\frac{S}{p} = k \cdot \frac{S_1}{p_1},
\)
откуда:
\(
\frac{r}{r_1} = \frac{p_1}{p} = k.
\)
3. Таким образом, мы заключаем, что:
\(
k = \frac{r}{r_1}.
\)
Заключение
Следовательно, коэффициент подобия двух подобных треугольников равен как отношению радиусов окружностей, описанных около них, так и отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники:
\(
k = \frac{R}{R_1} = \frac{r}{r_1}.
\)
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.