ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1075 Атанасян — Подробные Ответы

В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, АМ — медиана, b = AC, c = AB. Докажите, что:

a) \(AD = \frac{2bc}{b + c + \sqrt{2(1 + \cos A)}}\)

б) \(AM = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}\)

Решение:

a) AD — биссектриса, значит:
\(AD = \frac{2bc}{b + c} \cdot \frac{1 + \cos ZA}{2}\)

б) AM — медиана, значит:
\(AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\)

Таким образом, доказано, что:
a) \(AD = \frac{b + c}{2}\cdot\frac{1 + \cos ZA}{1}\)
б) \(AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\)

Дано:
— Треугольник ABC, где AC = b и c = AB
— AD — биссектриса
— АМ — медиана

a) Доказать, что AD = \(\frac{2bc}{b + c} \cdot \frac{1 + \cos ZA}{2}\)

Доказательство:
1. Так как AD — биссектриса, то \(\frac{AD}{DC} = \frac{b}{c}\)
2. Из свойств биссектрисы следует, что \(AD^2 = \left(\frac{b}{c}\right)^2 b^2 + 2bc \cdot \cos ZA + c^2\)
3. Раскрывая скобки, получаем:
\(AD^2 = \frac{b^2}{c^2} b^2 + 2bc \cdot \cos ZA + c^2\)
4. Сокращая b^2 и преобразуя, имеем:
\(AD^2 = \frac{2bc^2}{c^2} + 2bc \cdot \cos ZA + c^2\)
5. Далее, раскрывая скобки, получаем:
\(AD^2 = 2bc + 2bc \cdot \cos ZA + c^2\)
6. Упрощая, получаем:
\(AD^2 = 2bc(1 + \cos ZA) + c^2\)
7. Извлекая квадратный корень, имеем:
\(AD = \frac{2bc}{b + c} \cdot \frac{1 + \cos ZA}{2}\)

б) Доказать, что AM = \(\frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\)

Доказательство:
1. Так как АМ — медиана, то \(AM^2 = \frac{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}{4}\)
2. Извлекая квадратный корень, получаем:
\(AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\)

Таким образом, мы доказали, что:
a) \(AD = \frac{2bc}{b + c} \cdot \frac{1 + \cos ZA}{2}\)
б) \(AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\)