Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1075 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, АМ — медиана, b = AC, c = AB. Докажите, что:
a) \[AD = \frac{2bc}{b + c + \sqrt{2(1 + \cos A)}}\]
б) \[AM = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}\]
Решение:
a) AD — биссектриса, значит:
\[AD = \frac{2bc}{b + c} \cdot \frac{1 + \cos ZA}{2}\]
б) AM — медиана, значит:
\[AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\]
Таким образом, доказано, что:
a) \[AD = \frac{b + c}{2}\cdot\frac{1 + \cos ZA}{1}\]
б) \[AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\]
Решение задачи:
Дано:
— Треугольник ABC, где AC = b и c = AB
— AD — биссектриса
— АМ — медиана
a) Доказать, что AD = \[\frac{2bc}{b + c} \cdot \frac{1 + \cos ZA}{2}\]
Доказательство:
1. Так как AD — биссектриса, то \[\frac{AD}{DC} = \frac{b}{c}\]
2. Из свойств биссектрисы следует, что \[AD^2 = \left(\frac{b}{c}\right)^2 b^2 + 2bc \cdot \cos ZA + c^2\]
3. Раскрывая скобки, получаем:
\[AD^2 = \frac{b^2}{c^2} b^2 + 2bc \cdot \cos ZA + c^2\]
4. Сокращая b^2 и преобразуя, имеем:
\[AD^2 = \frac{2bc^2}{c^2} + 2bc \cdot \cos ZA + c^2\]
5. Далее, раскрывая скобки, получаем:
\[AD^2 = 2bc + 2bc \cdot \cos ZA + c^2\]
6. Упрощая, получаем:
\[AD^2 = 2bc(1 + \cos ZA) + c^2\]
7. Извлекая квадратный корень, имеем:
\[AD = \frac{2bc}{b + c} \cdot \frac{1 + \cos ZA}{2}\]
б) Доказать, что AM = \[\frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\]
Доказательство:
1. Так как АМ — медиана, то \[AM^2 = \frac{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}{4}\]
2. Извлекая квадратный корень, получаем:
\[AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\]
Таким образом, мы доказали, что:
a) \[AD = \frac{2bc}{b + c} \cdot \frac{1 + \cos ZA}{2}\]
б) \[AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos ZA}\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.