Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1074 Атанасян — Подробные Ответы
1. Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC, и BM = kMC.
2. Необходимо доказать, что:
(1 + k)^2 * AM^2 = k^2 * b^2 + 2 * b * c * cos A + c^2,
где b = AC, c = AB.
3. Решение:
— По условию задачи, M лежит на отрезке BC, и BM = kMC, поэтому BM = k * (BC — BM) или BM = k * BC / (1 + k).
— Используя правило треугольника сложения векторов, получаем: AM = AB + k / (1 + k) * (AC — AB).
— Следовательно, (1 + k) * AM = AB + k * AC.
— Далее, (1 + k)^2 * (AM * AM) = (AB + k * AC) * (AB + k * AC) = AB * AB + 2 * k * AB * AC + k^2 * AC * AC.
— Учитывая, что AM * AM = AM^2, AB * AB = c^2, AC * AC = b^2, AB * AC = b * c * cos A, получаем искомую формулу.
Вывод: Доказано, что (1 + k)^2 * AM^2 = k^2 * b^2 + 2 * b * c * cos A + c^2, где b = AC, c = AB.
Дано: Точка М лежит на стороне ВС треугольника АВС, и ВМ = kМС.
Требуется доказать, что (1 + k)^2 АМ^2 = k^2b^2 + 2bckcos(A) + c^2, где b = AC, c = AB.
Доказательство:
1) По условию, ВМ = kМС, следовательно, ВМ = k(BC — ВМ) или ВМ = kBC/(1 + k).
2) Применяя правило сложения векторов, получаем: АМ = АВ + ВМ = АВ + kAC/(1 + k).
3) Возводя в квадрат, имеем: (1 + k)^2 АМ^2 = АВ^2 + 2kAB·AC + k^2AC^2.
4) Учитывая, что АВ^2 = c^2, AC^2 = b^2 и АВ·AC = bccos(A), получаем искомое равенство.
Ответ: (1 + k)^2 АМ^2 = k^2b^2 + 2bckcos(A) + c^2.
Решение:
Дано: Точка М лежит на стороне ВС треугольника АВС, и ВМ = kМС. Требуется доказать, что (1 + k)^2 АМ^2 = k^2b^2 + 2bckcos(A) + c^2, где b = AC, c = AB.
Доказательство:
1) По условию, ВМ = kМС, следовательно, ВМ = k(BC — ВМ) или ВМ = kBC/(1 + k).
2) Применяя правило сложения векторов, получаем: АМ = АВ + ВМ = АВ + kAC/(1 + k).
3) Возводя в квадрат, имеем: (1 + k)^2 АМ^2 = (АВ + kAC/(1 + k))^2.
4) Раскрывая скобки, получаем: (1 + k)^2 АМ^2 = АВ^2 + 2kАВ·АС/(1 + k) + k^2АС^2/((1 + k)^2).
5) Учитывая, что АВ^2 = c^2, АС^2 = b^2 и АВ·АС = bccos(A), получаем:
(1 + k)^2 АМ^2 = c^2 + 2kbccos(A)/(1 + k) + k^2b^2/((1 + k)^2).
6) Упрощая выражение, имеем:
(1 + k)^2 АМ^2 = c^2 + 2kbccos(A)/(1 + k) + k^2b^2/(1 + 2k + k^2).
7) Раскрывая знаменатель в последнем слагаемом, получаем:
(1 + k)^2 АМ^2 = c^2 + 2kbccos(A)/(1 + k) + k^2b^2/(1 + 2k + k^2).
8) Упрощая дробь, имеем:
(1 + k)^2 АМ^2 = c^2 + 2kbccos(A)/(1 + k) + k^2b^2/(1 + k)^2.
9) Объединяя подобные слагаемые, получаем:
(1 + k)^2 АМ^2 = c^2 + 2kbccos(A)/(1 + k) + k^2b^2/(1 + k)^2.
10) Таким образом, доказано, что (1 + k)^2 АМ^2 = k^2b^2 + 2bckcos(A) + c^2.
Ответ: (1 + k)^2 АМ^2 = k^2b^2 + 2bckcos(A) + c^2.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.