Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1072 Атанасян — Подробные Ответы
Решение:
1) Используя теорему синусов, находим:
\[MF = \frac{a \cdot \sin 4a}{\sin a}\]
2) Используя теорему синусов, находим:
\[FP = \frac{a \cdot \sin 4a}{\sin 2a}\]
3) Вычисляем:
\[PQ = PF + 2a \cdot \cos 2a = a(1 + 2\cos 2a)\]
4) Вычисляем площадь SMNPQ:
\[SMNPQ = a^2(1 + 4\cos 2a + 4\cos^2 2a) \cdot \sin 4a\]
Ответ: \[a^2(1 + 4\cos 2a + 4\cos^2 2a) \cdot \sin 4a\]
Дано: MNPQ — ромб; MF — биссектриса; LNMQ = 4a; FQ = a.
Решение:
1) Так как MNPQ — ромб, то по свойству ромба ∠M = 4a и ∠2QMP = 2a.
2) Так как LMQP = 180° — 4a (так как LMQP — равнобедренный треугольник), то ∠MQP = 4a.
3) Используя теорему синусов для треугольника FMQ, находим:
\[\frac{\sin \angle FMQ}{\sin a} = \frac{a}{MF}\]
Отсюда
\[MF = \frac{a \cdot \sin 4a}{\sin a}\]
4) Используя теорему синусов для треугольника MPQ, находим:
\[\frac{\sin \angle MPQ}{\sin 2a} = \frac{MF}{FP}\]
Отсюда
\[FP = \frac{a \cdot \sin 4a}{\sin 2a}\]
5) Вычисляем PQ:
\[PQ = PF + 2a \cdot \cos 2a = \frac{a \cdot \sin 4a}{\sin 2a} + 2a \cdot \cos 2a = a(1 + 2\cos 2a)\]
6) Вычисляем площадь SMNPQ:
\[SMNPQ = \frac{1}{2} \cdot NP \cdot PQ \cdot \sin \angle P = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot (1 + 2\cos 2a) \cdot \sin 4a\]
Окончательный ответ:
\[SMNPQ = a^2(1 + 4\cos 2a + 4\cos^2 2a) \cdot \sin 4a\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.