ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1064 Атанасян — Подробные Ответы

Чтобы определить расстояние между точками A и B, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки A и B. Измерив угол ACВ и расстояния AC и СВ, находят расстояние AB. Найдите AB, если AC = b, СВ = a, ∠ACВ = α.

Решение:

Дано: Треугольник ABC с сторонами AB = c, AC = b и углом A = α.

Требуется найти длину отрезка AB.

1) Применяя теорему косинусов, получаем:
\[AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2AC \cdot BC \cdot \cos \alpha\]
\[AB^2 = b^2 + a^2 — 2ab \cdot \cos \alpha\]

2) Извлекая квадратный корень, находим:
\[AB = \sqrt{b^2 + a^2 — 2ab \cdot \cos \alpha}\]

Ответ: \[AB = \sqrt{b^2 + a^2 — 2ab \cdot \cos \alpha}\]

Полное решение:

Дано:
— Треугольник ABC с сторонами AB = c, AC = b и углом A = α.
— Требуется найти длину отрезка AB.

Решение:

1) Площадь треугольника ABC можно представить как сумму площадей двух треугольников ABD и ADC:
\[S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ADC}\]

2) Площадь треугольника ABD:
\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha\]

3) Площадь треугольника ADC:
\[S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AD \cdot \sin \frac{\alpha}{2}\]

4) Приравнивая выражения для площади треугольника ABC, получаем:
\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot b \cdot AD \cdot \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin \alpha\]

5) Упрощая выражение, находим:
\[AD = \frac{2ab \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}{c + b}\]

6) Используя теорему косинусов, можно найти длину стороны AB:
\[AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2AC \cdot BC \cdot \cos \alpha\]
\[AB^2 = b^2 + a^2 — 2ab \cdot \cos \alpha\]

7) Извлекая квадратный корень, получаем:
\[AB = \sqrt{b^2 + a^2 — 2ab \cdot \cos \alpha}\]

Ответ: \[AB = \sqrt{b^2 + a^2 — 2ab \cdot \cos \alpha}\]