ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1059 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Дано: четырехугольник ABCD.
Доказать: \(S_{ABCD} = AC \cdot BD \cdot \sin \alpha\)

Доказательство:
1) Разобьем четырехугольник ABCD на четыре треугольника: AOB, BOC, COD и AOD.
2) Применим формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:
\(S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin (180° — \alpha) = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OA \cdot \sin \alpha\)
\(S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OC \cdot \sin \alpha\)
\(S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \cdot \sin (180° — \alpha) = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \cdot \sin \alpha\)
\(S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD \cdot \sin \alpha\)
3) Сложив эти площади, получим:
\(S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OA \cdot \sin \alpha +\)
\(+\frac{1}{2} \cdot BO \cdot OC \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \cdot \sin \alpha +\)
\(+ \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD \cdot \sin \alpha\)
4) Упростим:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (BO \cdot OA + BO \cdot OC + OC \cdot OD + AO \cdot OD) \cdot \sin \alpha = \)
\(=\frac{1}{2} \cdot (AC \cdot BD) \cdot \sin \alpha\)
Следовательно, \(S_{ABCD} = AC \cdot BD \cdot \sin \alpha\).

Дано:
— Четырехугольник \( ABCD \) с диагоналями \( AC \) и \( BD \), пересекающимися в точке \( O \).
— Угол между диагоналями \( \alpha \) (т.е. \( \angle AOB = \alpha \), \( \angle COD = \alpha \), \( \angle BOC = 180° — \alpha \), \( \angle AOD = 180° — \alpha \)).

Требуется доказать:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin(\alpha)
\)

Пошаговое доказательство с детализацией

1. Разбиение четырехугольника на треугольники
Четырехугольник \( ABCD \) можно разбить на четыре треугольника, образованных его диагоналями:
— \( \triangle AOB \),
— \( \triangle BOC \),
— \( \triangle COD \),
— \( \triangle AOD \).

Площадь четырехугольника равна сумме площадей этих треугольников:
\(
S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD}
\)

2. Применение формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними
Формула площади треугольника через две стороны \( a \) и \( b \) и угол \( \gamma \) между ними:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)
\)

Применим эту формулу к каждому из четырех треугольников:

a) Площадь \( \triangle AOB \):
— Стороны: \( AO \) и \( BO \).
— Угол между ними: \( \angle AOB = \alpha \).
\(
S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\alpha)
\)

b) Площадь \( \triangle BOC \):
— Стороны: \( BO \) и \( CO \).
— Угол между ними: \( \angle BOC = 180° — \alpha \).
Так как \( \sin(180° — \alpha) = \sin(\alpha) \), то:
\(
S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin(\alpha)
\)

c) Площадь \( \triangle COD \):
— Стороны: \( CO \) и \( DO \).
— Угол между ними: \( \angle COD = \alpha \).
\(
S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin(\alpha)
\)

d) Площадь \( \triangle AOD \):
— Стороны: \( AO \) и \( DO \).
— Угол между ними: \( \angle AOD = 180° — \alpha \).
\(
S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot DO \cdot \sin(\alpha)
\)

3. Суммирование площадей треугольников
Сложим все четыре площади:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin(\alpha) + \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin(\alpha) + \)
\(+\frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin(\alpha) + \frac{1}{2} \cdot AO \cdot DO \cdot \sin(\alpha)
\)

Вынесем общие множители:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot \sin(\alpha) \cdot \left( AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + AO \cdot DO \right)
\)

4. Упрощение выражения
Сгруппируем слагаемые:
\(
AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + AO \cdot DO = BO \cdot (AO + CO) +\)
\(+ DO \cdot (CO + AO)
\)

Заметим, что \( AO + CO = AC \) (поскольку \( AC \) — диагональ), а \( CO + AO = AC \).
Аналогично, \( BO + DO = BD \).

Подставим:
\(
BO \cdot AC + DO \cdot AC = AC \cdot (BO + DO) = AC \cdot BD
\)

Таким образом:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot \sin(\alpha) \cdot AC \cdot BD
\)

5. Итоговая формула
Получаем окончательное выражение для площади четырехугольника:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin(\alpha)
\)

Что и требовалось доказать.