Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1059 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Решение:
Дано: четырехугольник ABCD.
Доказать: \[S_{ABCD} = AC \cdot BD \cdot \sin \alpha\]
Доказательство:
1) Разобьем четырехугольник ABCD на четыре треугольника: AOB, BOC, COD и AOD.
2) Применим формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:
\[S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin (180° — \alpha) = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OA \cdot \sin \alpha\]
\[S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OC \cdot \sin \alpha\]
\[S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \cdot \sin (180° — \alpha) = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \cdot \sin \alpha\]
\[S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD \cdot \sin \alpha\]
3) Сложив эти площади, получим:
\[S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OA \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OC \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD \cdot \sin \alpha\]
4) Упростим:
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (BO \cdot OA + BO \cdot OC + OC \cdot OD + AO \cdot OD) \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot (AC \cdot BD) \cdot \sin \alpha\]
Следовательно, \[S_{ABCD} = AC \cdot BD \cdot \sin \alpha\].
Полное решение:
a) Дано:
— BC = 4,125 м
— ∠LB = 44°
— ∠LC = 72°
1) Найдем угол ∠ZA:
\[∠ZA = 180° — (∠LC + ∠LB) = 180° — (72° + 44°) = 64°\]
(Это следует из теоремы о сумме углов в треугольнике)
2) Применим теорию синусов:
\[\frac{AB}{\sin 72°} = \frac{BC}{\sin 64°}\]
\[AB = \frac{4,125 \cdot \sin 72°}{\sin 64°} \approx 4,365 \text{ м}\]
3) Вычислим площадь треугольника ABC:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 2B = \frac{1}{2} \cdot 4,125 \cdot 4,365 \cdot \sin 44° \approx 6,25 \text{ м}^2\]
б) Дано:
— BC = 4100 м
— ∠ZA = 32°
— ∠LC = 120°
1) Найдем угол ∠ZA:
\[∠ZA = 180° — (∠LC + ∠LB) = 180° — (120° + 32°) = 28°\]
(Это следует из теоремы о сумме углов в треугольнике)
2) Применим теорию синусов:
\[\frac{AB}{\sin 120°} = \frac{BC}{\sin 32°}\]
\[AB = \frac{4100 \cdot \sin 120°}{\sin 32°} \approx 6700,5 \text{ м}\]
3) Вычислим площадь треугольника ABC:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 2B = \frac{1}{2} \cdot 4100 \cdot 6700,5 \cdot \sin 28° \approx 6448673,1 \text{ м}^2\]
Ответ: a) 6,25 м²; б) 6448673,1 м².
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.