Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1054 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\), то:
\[4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A\]
Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.
Решение: Точка \(M\) — середина отрезка \(BC\), поэтому \(2AM = AB + AC\). Отсюда получаем:
\[(2AM) \cdot (2AM) = (AB + AC) \cdot (AB + AC) = AB^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A + AC^2\]
или
\[4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A\]
Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.
Решение:
1) Используем данное равенство для треугольника ABN: 4BN^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB·BC·cos∠B
2) Используем данное равенство для треугольника ACK: 4CK^2 = AC^2 + BC^2 + 2AC·BC·cos∠C
3) Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC и ∠B = ∠C. Следовательно, cos∠B = cos∠C.
4) Подставляя эти значения в выражения для BN^2 и CK^2, получаем: 4BN^2 = 4CK^2.
5) Отсюда следует, что BN = CK, что и требовалось доказать.
Ответ: BN = CK.
Полное решение:
Дано:
— Треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = AC.
— 4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB·AC·cos∠ZA
— BN и CK являются медианами треугольника ABC.
Требуется доказать, что BN = CK.
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник ABN.
Согласно свойствам равнобедренного треугольника, имеем:
\[4BN^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB\cdot BC\cdot\cos\angle B\]
2) Рассмотрим треугольник ACK.
Аналогично, имеем:
\[4CK^2 = AC^2 + BC^2 + 2AC\cdot BC\cdot\cos\angle C\]
3) Так как треугольник ABC является равнобедренным, то AB = AC и ∠B = ∠C.
Следовательно, \(\cos\angle B = \cos\angle C\).
4) Подставляя эти значения в выражения для BN^2 и CK^2, получаем:
\[4BN^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB\cdot BC\cdot\cos\angle B = AC^2 + BC^2 + 2AC\cdot BC\cdot\cos\angle C = 4CK^2\]
5) Отсюда следует, что BN = CK, что и требовалось доказать.
Ответ: BN = CK.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.