ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1054 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\), то:

\(4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A\)

Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Решение: Точка \(M\) — середина отрезка \(BC\), поэтому \(2AM = AB + AC\). Отсюда получаем:

\((2AM) \cdot (2AM) = (AB + AC) \cdot (AB + AC) = AB^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A +\)

\(+AC^2\) или \(4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A\)

Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.

Решение:

1) Используем данное равенство для треугольника ABN: 4BN^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB·BC·cos∠B

2) Используем данное равенство для треугольника ACK: 4CK^2 = AC^2 + BC^2 + 2AC·BC·cos∠C

3) Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC и ∠B = ∠C. Следовательно, cos∠B = cos∠C.

4) Подставляя эти значения в выражения для BN^2 и CK^2, получаем: 4BN^2 = 4CK^2.

5) Отсюда следует, что BN = CK, что и требовалось доказать.

Ответ: BN = CK.

Дано:
— Треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = AC.
— 4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB·AC·cos∠ZA
— BN и CK являются медианами треугольника ABC.

Требуется доказать, что BN = CK.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник ABN.
Согласно свойствам равнобедренного треугольника, имеем:
\(4BN^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB\cdot BC\cdot\cos\angle B\)

2) Рассмотрим треугольник ACK.
Аналогично, имеем:
\(4CK^2 = AC^2 + BC^2 + 2AC\cdot BC\cdot\cos\angle C\)

3) Так как треугольник ABC является равнобедренным, то AB = AC и ∠B = ∠C.
Следовательно, \(\cos\angle B = \cos\angle C\).

4) Подставляя эти значения в выражения для BN^2 и CK^2, получаем:
\(4BN^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB\cdot BC\cdot\cos\angle B = AC^2 + BC^2 + \)
\(+ 2AC\cdot BC\cdot\cos\angle C = 4CK^2\)

5) Отсюда следует, что BN = CK, что и требовалось доказать.

Ответ: BN = CK.