Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1049 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите углы треугольника с вершинами A (-1; √3), B (1; — √3) и C (1/2; √3).
Решение задачи:
1) Вычисляем длину стороны AB: AB = √((1+1)^2 + (√3 + √3)^2) = √(4 + 12) = √16 = 4.
2) Вычисляем длину стороны BC: BC = √((1-1/2)^2 + (-√3 — √3)^2) = √(1/4 + 12) = √(49/4) = 7/2 = 3,5.
3) Вычисляем длину стороны AC: AC = √((1/2 + 1)^2 + (√3 — √3)^2) = √(9/4 + 0) = √(9/4) = 3/2 = 1,5.
4) Применяя теорему косинусов, находим угол ∠C:
cos∠C = (AB^2 + BC^2 — AC^2) / (2*AB*BC) = (16 + 12,25 — 2,25) / (8*3,5) = -0,1429.
Угол ∠C = 98°13′.
5) Находим угол ∠B: ∠B = 180° — (98°13′ + 60°) = 21°47′.
6) Угол ∠A = 60°.
Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 21°47′, ∠C = 98°13′.
Хорошо, вот подробный ход решения этой задачи:
Дано:
Треугольник ABC, где A(-1;√3), B(1;-√3), C(1/2;√3)
Найти:
∠A, ∠B, ∠C
Решение:
1. Вычисление длин сторон треугольника:
— Сторона AB:
— Координаты точек A(-1;√3) и B(1;-√3)
— Длина стороны AB = √[(x2-x1)2 + (y2-y1)2]
— AB = √[(1-(-1))2 + ((-√3)-√3)2] = √(4+12) = √16 = 4
— Сторона BC:
— Координаты точек B(1;-√3) и C(1/2;√3)
— Длина стороны BC = √[(x2-x1)2 + (y2-y1)2]
— BC = √[(1/2-1)2 + (√3+√3)2] = √(1/4+12) = √(49/4) = 7/2 = 3,5
— Сторона AC:
— Координаты точек A(-1;√3) и C(1/2;√3)
— Длина стороны AC = √[(x2-x1)2 + (y2-y1)2]
— AC = √[(1/2+1)2 + (√3-√3)2] = √(9/4+0) = 3/2 = 1,5
2. Вычисление углов треугольника по теореме косинусов:
— Угол ∠C:
— По теореме косинусов: AB2 = BC2 + AC2 — 2BC·AC·cos∠C
— Подставляем известные значения: 16 = 49/4 + 9/4 — 2·7/2·3/2·cos∠C
— Упрощаем: 16 = 49/4 + 9/4 — 21·cos∠C
— Решаем уравнение: -6 = -21·cos∠C
— Находим cos∠C: cos∠C = -6/21 = -0,2857 < 0
— Находим ∠C: ∠C = 180° — 81°47′ = 98°13′
— Угол ∠A:
— По теореме косинусов: BC2 = AB2 + AC2 — 2AB·AC·cos∠A
— Подставляем известные значения: 49/4 = 16 + 9/4 — 2·4·3/2·cos∠A
— Упрощаем: 40 = 16 — 12·cos∠A
— Решаем уравнение: -6 = -12·cos∠A
— Находим cos∠A: cos∠A = 1/2
— Находим ∠A: ∠A = 60°
— Угол ∠B:
— ∠B = 180° — (∠A + ∠C)
— ∠B = 180° — (60° + 98°13′) = 21°47′
Ответ:
∠A = 60°
∠B = 21°47′
∠C = 98°13′
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.