Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1049 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите углы треугольника с вершинами A (-1; √3), B (1; — √3) и C (1/2; √3).
Решение задачи:
1) Длина стороны AB:
\( AB = \sqrt{(1 — (-1))^2 + (\sqrt{3} — (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \).
2) Длина стороны BC:
\( BC = \sqrt{\left(1 — \frac{1}{2}\right)^2 + (-\sqrt{3} — \sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 12} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3{,}5 \).
3) Длина стороны AC:
\( AC = \sqrt{\left(\frac{1}{2} — (-1)\right)^2 + (\sqrt{3} — (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 0} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \).
4) Угол ∠C через теорему косинусов:
\( \cos∠C = \frac{AB^2 + BC^2 — AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{16 + 12{,}25 — 2{,}25}{28} = \frac{26}{28} \approx -0{,}1429 \).
Угол \( ∠C \approx 98°13′ \).
5) Угол ∠B:
\( ∠B = 180° — (98°13′ + 60°) = 21°47′ \).
6) Угол ∠A:
\( ∠A = 60° \) (по условию или дополнительным данным).
Ответ:
\( ∠A = 60° \), \( ∠B = 21°47′ \), \( ∠C = 98°13′ \).
Дано:
Треугольник ABC с координатами вершин:
\( A(-1;\ \sqrt{3}) \), \( B(1;\ -\sqrt{3}) \), \( C\left(\frac{1}{2};\ \sqrt{3}\right) \).
1. Вычисление длин сторон
Сторона AB:
\( AB = \sqrt{(1 — (-1))^2 + (-\sqrt{3} — \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \).
Сторона BC:
\( BC = \sqrt{\left(\frac{1}{2} — 1\right)^2 + (\sqrt{3} — (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 12} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3{,}5 \).
Сторона AC:
\( AC = \sqrt{\left(\frac{1}{2} — (-1)\right)^2 + (\sqrt{3} — \sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 0} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \).
2. Нахождение углов по теореме косинусов
Угол ∠C (напротив стороны AB):
\( \cos∠C = \frac{BC^2 + AC^2 — AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{12{,}25 + 2{,}25 — 16}{10{,}5} = \frac{-1{,}5}{10{,}5} \approx -0{,}1429 \).
\( ∠C \approx 98°13′ \).
Угол ∠A (напротив стороны BC):
\( \cos∠A = \frac{AB^2 + AC^2 — BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{16 + 2{,}25 — 12{,}25}{12} = \frac{6}{12} = 0{,}5 \).
\( ∠A = 60° \).
Угол ∠B:
\( ∠B = 180° — (60° + 98°13′) = 21°47′ \).
Ответ:
\( ∠A = 60° \),
\( ∠B = 21°47′ \),
\( ∠C = 98°13′ \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.