ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1048 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), B (-1; 5), C (3; 1).

1. Вычисление длин сторон
\(
AB = \sqrt{(2 — (-1))^2 + (8 — 5)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}
\)
\(
BC = \sqrt{(3 — (-1))^2 + (1 — 5)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}
\)
\(
AC = \sqrt{(3 — 2)^2 + (1 — 8)^2} = \sqrt{1 + 49} = 5\sqrt{2}
\)

2. Применение теоремы косинусов
a) Угол A:
\(
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A
\)
\(
(4\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos \angle A
\)
\(
32 = 18 + 50 — 60 \cos \angle A \quad \Rightarrow \quad 60 \cos \angle A = 36
\)
\(
\cos \angle A = \frac{36}{60} = 0.6
\)

b) Угол B:
\(
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B
\)
\(
(5\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos \angle B
\)
\(
50 = 18 + 32 — 48 \cos \angle B \quad \Rightarrow \quad 48 \cos \angle B = 0
\)
\(
\cos \angle B = 0
\)

c) Угол C:
\(
AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C
\)
\(
(3\sqrt{2})^2 = (4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos \angle C
\)
\(
18 = 32 + 50 — 80 \cos \angle C \quad \Rightarrow \quad 80 \cos \angle C = 64
\)
\(
\cos \angle C = \frac{64}{80} = 0.8
\)

3. Ответ
\(
\cos \angle A = 0.6, \quad \cos \angle B = 0, \quad \cos \angle C = 0.8
\)

Дано:
Треугольник ABC с координатами вершин:
\( A(2,\ 8),\quad B(-1,\ 5),\quad C(3,\ 1) \)

1. Вычисление длин сторон
По формуле расстояния между точками:
\(
\begin{aligned}
AB &= \sqrt{(2 — (-1))^2 + (8 — 5)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \\
BC &= \sqrt{(3 — (-1))^2 + (1 — 5)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2} \\
AC &= \sqrt{(3 — 2)^2 + (1 — 8)^2} = \sqrt{1 + 49} = 5\sqrt{2}
\end{aligned}
\)

2. Нахождение косинусов углов
Применяем теорему косинусов \( a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos \alpha \):

a) Угол A (напротив стороны BC):
\(
(4\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos A
\)
\(
32 = 18 + 50 — 60 \cos A \quad \Rightarrow \quad \cos A = \frac{36}{60} = 0.6
\)

b) Угол B (напротив стороны AC):
\(
(5\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos B
\)
\(
50 = 18 + 32 — 48 \cos B \quad \Rightarrow \quad \cos B = 0
\)
Примечание: Угол B прямой (90°), так как \( (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = (5\sqrt{2})^2 \).

c) Угол C (напротив стороны AB):
\(
(3\sqrt{2})^2 = (4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos C
\)
\(
18 = 32 + 50 — 80 \cos C \quad \Rightarrow \quad \cos C = \frac{64}{80} = 0.8
\)

Ответ:
\(
\cos A = 0.6,\quad \cos B = 0,\quad \cos C = 0.8.
\)