ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1019 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите угол между лучом \(OA\) и положительной полуосью \(Ox\), если точка \(A\) имеет координаты:
а) \((2; 2)\);
б) \((0; 3)\);
в) \((- \sqrt{3}; 1)\);
г) \((-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\).

а) \(A(2, 2)\)

1. Найдем \(OA\):
\(
OA^2 = 2^2 + 2^2 = 8 \Rightarrow OA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\)
2. Используем формулы:
\(
x = OA \cdot \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \cos \alpha = 2
\)
\(
y = OA \cdot \sin \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \sin \alpha = 2
\)
3. Решаем уравнения:
\(
\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ
\)

б) \(A(0, 3)\)

1. Найдем \(OA\):
\(
OA^2 = 0^2 + 3^2 = 9 \Rightarrow OA = 3
\)
2. Используем формулы:
\(
x = 3 \cdot \cos \alpha = 0
\)
\(
y = 3 \cdot \sin \alpha = 3
\)
3. Решаем уравнения:
\(
\cos \alpha = 0, \sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 90^\circ
\)

в) \(A(-\sqrt{3}, 1)\)

1. Найдем \(OA\):
\(
OA^2 = (-\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4 \Rightarrow OA = 2
\)
2. Используем формулы:
\(
x = 2 \cdot \cos \alpha = -\sqrt{3}
\)
\(
y = 2 \cdot \sin \alpha = 1
\)
3. Решаем уравнения:
\(
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 150^\circ
\)

г) \(A(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)

1. Найдем \(OA\):
\(
OA^2 = (-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 16 \Rightarrow OA = 4
\)
2. Используем формулы:
\(
x = 4 \cdot \cos \alpha = -2\sqrt{2}
\)
\(
y = 4 \cdot \sin \alpha = 2\sqrt{2}
\)
3. Решаем уравнения:
\(
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 135^\circ
\)

Ответ: а) \(45^\circ\); б) \(90^\circ\); в) \(150^\circ\); г) \(135^\circ\).

а) \(A(2, 2)\)

1. Вычислим длину \(OA\):
\(
OA^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \Rightarrow OA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\)
2. Найдем \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\):
\(
x = OA \cdot \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \cos \alpha = 2
\)
\(
\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\)
\(
y = OA \cdot \sin \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \sin \alpha = 2
\)
\(
\sin \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\)
3. Угол \(\alpha\) равен \(45^\circ\).

б) \(A(0, 3)\)

1. Вычислим длину \(OA\):
\(
OA^2 = 0^2 + 3^2 = 0 + 9 = 9 \Rightarrow OA = 3
\)
2. Найдем \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\):
\(
x = 3 \cdot \cos \alpha = 0
\)
\(
\cos \alpha = 0
\)
\(
y = 3 \cdot \sin \alpha = 3
\)
\(
\sin \alpha = 1
\)
3. Угол \(\alpha\) равен \(90^\circ\).

в) \(A(-\sqrt{3}, 1)\)

1. Вычислим длину \(OA\):
\(
OA^2 = (-\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \Rightarrow OA = 2
\)
2. Найдем \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\):
\(
x = 2 \cdot \cos \alpha = -\sqrt{3}
\)
\(
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\)
\(
y = 2 \cdot \sin \alpha = 1
\)
\(
\sin \alpha = \frac{1}{2}
\)
3. Угол \(\alpha\) равен \(150^\circ\).

г) \(A(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)

1. Вычислим длину \(OA\):
\(
OA^2 = (-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16 \Rightarrow OA = 4
\)
2. Найдем \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\):
\(
x = 4 \cdot \cos \alpha = -2\sqrt{2}
\)
\(
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\)
\(
y = 4 \cdot \sin \alpha = 2\sqrt{2}
\)
\(
\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}
\)
3. Угол \(\alpha\) равен \(135^\circ\).

Ответы: а) \(45^\circ\); б) \(90^\circ\); в) \(150^\circ\); г) \(135^\circ\).