Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1019 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите угол между лучом \(OA\) и положительной полуосью \(Ox\), если точка \(A\) имеет координаты:
а) \((2; 2)\);
б) \((0; 3)\);
в) \((- \sqrt{3}; 1)\);
г) \((-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\).
Рассмотрим решение каждой задачи кратко.
а) \(A(2, 2)\)
1. Найдем \(OA\):
\[
OA^2 = 2^2 + 2^2 = 8 \Rightarrow OA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
2. Используем формулы:
\[
x = OA \cdot \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \cos \alpha = 2
\]
\[
y = OA \cdot \sin \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \sin \alpha = 2
\]
3. Решаем уравнения:
\[
\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ
\]
б) \(A(0, 3)\)
1. Найдем \(OA\):
\[
OA^2 = 0^2 + 3^2 = 9 \Rightarrow OA = 3
\]
2. Используем формулы:
\[
x = 3 \cdot \cos \alpha = 0
\]
\[
y = 3 \cdot \sin \alpha = 3
\]
3. Решаем уравнения:
\[
\cos \alpha = 0, \sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 90^\circ
\]
в) \(A(-\sqrt{3}, 1)\)
1. Найдем \(OA\):
\[
OA^2 = (-\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4 \Rightarrow OA = 2
\]
2. Используем формулы:
\[
x = 2 \cdot \cos \alpha = -\sqrt{3}
\]
\[
y = 2 \cdot \sin \alpha = 1
\]
3. Решаем уравнения:
\[
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 150^\circ
\]
г) \(A(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)
1. Найдем \(OA\):
\[
OA^2 = (-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 16 \Rightarrow OA = 4
\]
2. Используем формулы:
\[
x = 4 \cdot \cos \alpha = -2\sqrt{2}
\]
\[
y = 4 \cdot \sin \alpha = 2\sqrt{2}
\]
3. Решаем уравнения:
\[
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 135^\circ
\]
Ответ: а) \(45^\circ\); б) \(90^\circ\); в) \(150^\circ\); г) \(135^\circ\).
Рассмотрим каждую задачу подробно.
а) \(A(2, 2)\)
1. Вычислим длину \(OA\):
\[
OA^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \Rightarrow OA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
2. Найдем \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\):
\[
x = OA \cdot \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \cos \alpha = 2
\]
\[
\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
y = OA \cdot \sin \alpha = 2\sqrt{2} \cdot \sin \alpha = 2
\]
\[
\sin \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
3. Угол \(\alpha\) равен \(45^\circ\).
б) \(A(0, 3)\)
1. Вычислим длину \(OA\):
\[
OA^2 = 0^2 + 3^2 = 0 + 9 = 9 \Rightarrow OA = 3
\]
2. Найдем \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\):
\[
x = 3 \cdot \cos \alpha = 0
\]
\[
\cos \alpha = 0
\]
\[
y = 3 \cdot \sin \alpha = 3
\]
\[
\sin \alpha = 1
\]
3. Угол \(\alpha\) равен \(90^\circ\).
в) \(A(-\sqrt{3}, 1)\)
1. Вычислим длину \(OA\):
\[
OA^2 = (-\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \Rightarrow OA = 2
\]
2. Найдем \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\):
\[
x = 2 \cdot \cos \alpha = -\sqrt{3}
\]
\[
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
y = 2 \cdot \sin \alpha = 1
\]
\[
\sin \alpha = \frac{1}{2}
\]
3. Угол \(\alpha\) равен \(150^\circ\).
г) \(A(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)
1. Вычислим длину \(OA\):
\[
OA^2 = (-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16 \Rightarrow OA = 4
\]
2. Найдем \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\):
\[
x = 4 \cdot \cos \alpha = -2\sqrt{2}
\]
\[
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
y = 4 \cdot \sin \alpha = 2\sqrt{2}
\]
\[
\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
3. Угол \(\alpha\) равен \(135^\circ\).
Ответы: а) \(45^\circ\); б) \(90^\circ\); в) \(150^\circ\); г) \(135^\circ\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.