Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1010 Атанасян — Подробные Ответы
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) 2AM2 — BM2= 2AB2; 6) 2AM2+ 2BM2= 6AB2.
Дано: точки \( A \) и \( B \).
a) \( 2AM^2 — BM^2 = 2AB^2 \)
б) \( 2AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2 \)
Найти: множество точек \( M \).
Решение:
a) Введем систему координат: \( AB \in OX \); \( A(0, 0) \); \( B(a, 0) \); \( M(x, y) \).
1. Выразим расстояния:
— \( AM^2 = x^2 + y^2 \)
— \( BM^2 = (a-x)^2 + y^2 \)
2. Подставим в уравнение:
\[
2(x^2 + y^2) — ((a-x)^2 + y^2) = 2a^2
\]
\[
2x^2 + 2y^2 — a^2 + 2ax — x^2 — y^2 = 2a^2
\]
\[
x^2 + y^2 + 2ax = 3a^2
\]
3. Это уравнение окружности:
\[
(x+a)^2 + y^2 = 4a^2
\]
Центр окружности: \((-a, 0)\), радиус \( R = 2a \).
б) Введем систему координат: \( AB \in OX \); \( A(0, 0) \); \( B(a, 0) \); \( M(x, y) \).
1. Выразим расстояния:
— \( AM^2 = x^2 + y^2 \)
— \( BM^2 = (a-x)^2 + y^2 \)
2. Подставим в уравнение:
\[
2(x^2 + y^2) + 2((a-x)^2 + y^2) = 6a^2
\]
\[
2x^2 + 2y^2 + 2a^2 — 4ax + 2x^2 + 2y^2 = 6a^2
\]
\[
4x^2 + 4y^2 — 4ax = 4a^2
\]
\[
(2x-a)^2 + 4y^2 = 5a^2
\]
3. Это уравнение окружности:
\[
\left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{5a^2}{4}
\]
Центр окружности: \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\), радиус \( R = \frac{\sqrt{5}a}{2} \).
Дано: точки \( A \) и \( B \).
a) \( 2AM^2 — BM^2 = 2AB^2 \)
б) \( 2AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2 \)
Найти: множество точек \( M \).
Решение:
a) Введем систему координат: \( AB \in OX \); \( A(0, 0) \); \( B(a, 0) \); \( M(x, y) \).
1. Выразим расстояния:
— \( AM^2 = x^2 + y^2 \)
— \( BM^2 = (a-x)^2 + y^2 \)
2. Подставим в уравнение:
\[
2(x^2 + y^2) — ((a-x)^2 + y^2) = 2a^2
\]
3. Раскроем скобки и упростим:
\[
2x^2 + 2y^2 — (a^2 — 2ax + x^2 + y^2) = 2a^2
\]
\[
2x^2 + 2y^2 — a^2 + 2ax — x^2 — y^2 = 2a^2
\]
\[
x^2 + y^2 + 2ax = 3a^2
\]
4. Это уравнение окружности:
\[
(x+a)^2 + y^2 = 4a^2
\]
Центр окружности: \((-a, 0)\), радиус \( R = 2a \).
б) Введем систему координат: \( AB \in OX \); \( A(0, 0) \); \( B(a, 0) \); \( M(x, y) \).
1. Выразим расстояния:
— \( AM^2 = x^2 + y^2 \)
— \( BM^2 = (a-x)^2 + y^2 \)
2. Подставим в уравнение:
\[
2(x^2 + y^2) + 2((a-x)^2 + y^2) = 6a^2
\]
3. Раскроем скобки и упростим:
\[
2x^2 + 2y^2 + 2(a^2 — 2ax + x^2 + y^2) = 6a^2
\]
\[
2x^2 + 2y^2 + 2a^2 — 4ax + 2x^2 + 2y^2 = 6a^2
\]
\[
4x^2 + 4y^2 — 4ax = 4a^2
\]
4. Преобразуем уравнение:
\[
(2x-a)^2 + 4y^2 = 5a^2
\]
5. Это уравнение окружности:
\[
\left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{5a^2}{4}
\]
Центр окружности: \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\), радиус \( R = \frac{\sqrt{5}a}{2} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.