Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1008 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) с точкой \(M(x, y)\). Необходимо доказать, что величина \((AM^2 + CM^2) — (BM^2 + DM^2)\) не зависит от координат точки \(M\).
Координаты точек:
\(A(0, 0)\), \(B(b, c)\), \(C(a+b, c)\), \(D(a, 0)\), \(M(x, y)\).
Выразим квадраты расстояний:
\(AM^2 = x^2 + y^2\), \(CM^2 = (a+b-x)^2 + (c-y)^2\), \(BM^2 = (x-b)^2 + (y-c)^2\), \(DM^2 = (a-x)^2 + y^2\).
Подставим в выражение:
\((AM^2 + CM^2) — (BM^2 + DM^2)\).
Упростим:
\[x^2 + y^2 + (a+b-x)^2 + (c-y)^2 — [(x-b)^2 + (y-c)^2] — [(a-x)^2 + y^2]\].
Раскрываем скобки и сокращаем:
\[x^2 + y^2 + a^2 + 2ab — 2ax — 2bx + b^2 + c^2 — 2cy + y^2 — x^2 — b^2 + 2bx — y^2 — c^2 — a^2 + 2ax = 2ab\].
Таким образом, выражение равно \(2ab\) и не зависит от координат точки \(M\).
Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) с точкой \(M(x, y)\). Необходимо доказать, что величина \((AM^2 + CM^2) — (BM^2 + DM^2)\) не зависит от координат точки \(M\).
1. Введем координаты точек:
— \(A(0, 0)\)
— \(B(b, c)\)
— \(C(a+b, c)\)
— \(D(a, 0)\)
— \(M(x, y)\)
2. Выразим квадраты расстояний от точки \(M\) до вершин параллелограмма:
— \(AM^2 = x^2 + y^2\)
— \(CM^2 = (a+b-x)^2 + (c-y)^2\)
— \(BM^2 = (x-b)^2 + (y-c)^2\)
— \(DM^2 = (a-x)^2 + y^2\)
3. Подставим эти выражения в разность:
\[
(AM^2 + CM^2) — (BM^2 + DM^2) = (x^2 + y^2 + (a+b-x)^2 + (c-y)^2) — ((x-b)^2 + (y-c)^2 + (a-x)^2 + y^2)
\]
4. Раскроем скобки и упростим каждое выражение:
— \((a+b-x)^2 = a^2 + 2ab + b^2 — 2ax — 2bx + x^2\)
— \((c-y)^2 = c^2 — 2cy + y^2\)
— \((x-b)^2 = x^2 — 2bx + b^2\)
— \((y-c)^2 = y^2 — 2cy + c^2\)
— \((a-x)^2 = a^2 — 2ax + x^2\)
5. Подставим обратно в разность и упростим:
\[
x^2 + y^2 + a^2 + 2ab + b^2 — 2ax — 2bx + x^2 + c^2 — 2cy + y^2 — (x^2 — 2bx + b^2 + y^2 — 2cy + c^2 + a^2 — 2ax + x^2 + y^2)
\]
6. Сократим одинаковые члены:
— \(x^2\), \(y^2\), \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) и другие одинаковые члены сокращаются
7. Получаем:
\[
2ab — 2ax — 2bx + 2bx — 2cy + 2cy + 2ax = 2ab
\]
Таким образом, итоговое выражение равно \(2ab\) и не зависит от координат точки \(M\), что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.