ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1007 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Рассмотрим решение задачи о медиане трапеции \(ABCD\), где \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AC\) и \(BD\) соответственно.

1. По правилу многоугольника, медиана \(MN\) выражается как сумма векторов:
\(
MN = MA + AD + DN
\) и \(
MN = MC + CB + BN
\)

2. Сложив эти выражения, получаем:
\(
2MN = (MA + MC) + (AD + CB) + (DN + BN)
\)

3. Поскольку \(M\) и \(N\) — середины, выполняются равенства:
\(
MA + MC = 0
\) и \(
DN + BN = 0
\)

4. Следовательно, уравнение упрощается до:
\(
2MN = AD + CB
\)

5. Поскольку \(AD\) и \(BC\) параллельны и противоположно направлены, имеем:
\(
2MN = AD — BC
\)
Отсюда:
\(
MN = \frac{1}{2}(AD — BC)
\)

Таким образом, доказано, что \(MN = \frac{1}{2}(AD — BC)\).

Рассмотрим задачу о нахождении длины медианы \(MN\) трапеции \(ABCD\), где \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AC\) и \(BD\) соответственно. Трапеция имеет параллельные основания \(AD\) и \(BC\).

Шаг 1: Определение векторов
Медиана \(MN\) может быть выражена через векторы:
\( MN = MA + AD + DN \) и \( MN = MC + CB + BN \)

Шаг 2: Сложение выражений
Сложим оба выражения:
\( 2MN = (MA + MC) + (AD + CB) + (DN + BN) \)

Шаг 3: Использование свойств середин
Поскольку \(M\) и \(N\) — середины отрезков, выполняются следующие равенства:
\( MA + MC = 0 \) \( DN + BN = 0 \)

Шаг 4: Упрощение выражения
Подставим эти равенства в выражение для \(2MN\):
\( 2MN = AD + CB \)

Шаг 5: Учёт параллельности оснований
Поскольку \(AD\) и \(BC\) — параллельные основания, их векторы направлены противоположно, то есть:
\( AD = -BC \)

Шаг 6: Подстановка и вывод
Таким образом, уравнение принимает вид:
\( 2MN = AD — BC \)
Отсюда следует:
\( MN = \frac{1}{2}(AD — BC) \)

Таким образом, мы получили, что длина медианы \(MN\) равна половине разности длин оснований \(AD\) и \(BC\). Это и требовалось доказать.