Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1007 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
Рассмотрим решение задачи о медиане трапеции \(ABCD\), где \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AC\) и \(BD\) соответственно.
1. По правилу многоугольника, медиана \(MN\) выражается как сумма векторов:
\[
MN = MA + AD + DN
\]
и
\[
MN = MC + CB + BN
\]
2. Сложив эти выражения, получаем:
\[
2MN = (MA + MC) + (AD + CB) + (DN + BN)
\]
3. Поскольку \(M\) и \(N\) — середины, выполняются равенства:
\[
MA + MC = 0
\]
и
\[
DN + BN = 0
\]
4. Следовательно, уравнение упрощается до:
\[
2MN = AD + CB
\]
5. Поскольку \(AD\) и \(BC\) параллельны и противоположно направлены, имеем:
\[
2MN = AD — BC
\]
Отсюда:
\[
MN = \frac{1}{2}(AD — BC)
\]
Таким образом, доказано, что \(MN = \frac{1}{2}(AD — BC)\).
Рассмотрим задачу о нахождении длины медианы \(MN\) трапеции \(ABCD\), где \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AC\) и \(BD\) соответственно. Трапеция имеет параллельные основания \(AD\) и \(BC\).
Шаг 1: Определение векторов
Медиана \(MN\) может быть выражена через векторы:
\[ MN = MA + AD + DN \]
и
\[ MN = MC + CB + BN \]
Шаг 2: Сложение выражений
Сложим оба выражения:
\[ 2MN = (MA + MC) + (AD + CB) + (DN + BN) \]
Шаг 3: Использование свойств середин
Поскольку \(M\) и \(N\) — середины отрезков, выполняются следующие равенства:
\[ MA + MC = 0 \]
\[ DN + BN = 0 \]
Шаг 4: Упрощение выражения
Подставим эти равенства в выражение для \(2MN\):
\[ 2MN = AD + CB \]
Шаг 5: Учёт параллельности оснований
Поскольку \(AD\) и \(BC\) — параллельные основания, их векторы направлены противоположно, то есть:
\[ AD = -BC \]
Шаг 6: Подстановка и вывод
Таким образом, уравнение принимает вид:
\[ 2MN = AD — BC \]
Отсюда следует:
\[ MN = \frac{1}{2}(AD — BC) \]
Таким образом, мы получили, что длина медианы \(MN\) равна половине разности длин оснований \(AD\) и \(BC\). Это и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.