Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1005 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что прямые, заданные уравнениями 3x − 1,5у + 1 = 0 и 2x − у − 3 = 0, параллельны.
Докажите, что точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой, если:
а) \(A (-2; 0)\), \(B \left(3; \frac{1}{2}\right)\), \(C (6; 4)\);
б) \(A (3; 10)\), \(B (3; 12)\), \(C (3; -6)\);
в) \(A (1; 2)\), \(B (2; 5)\), \(C (-10; -31)\).
Решение:
a) Точки \( A(-2; 0) \), \( B\left(3; 2 \frac{1}{2}\right) \), \( C(6; 4) \).
1. Найдем уравнение прямой через точки \( A \) и \( B \).
Уравнение прямой: \( y = 0.5x + 1 \).
2. Проверяем точку \( C(6; 4) \).
Подставляем: \( 4 = 0.5 \times 6 + 1 = 4 \), верно.
b) Точки \( A(3; 10) \), \( B(3; 12) \), \( C(3; -6) \).
1. Все точки имеют \( x = 3 \), значит, они лежат на вертикальной прямой \( x = 3 \).
в) Точки \( A(1; 2) \), \( B(2; 5) \), \( C(-10; -31) \).
1. Найдем уравнение прямой через точки \( A \) и \( B \).
Уравнение прямой: \( y = 3x — 1 \).
2. Проверяем точку \( C(-10; -31) \).
Подставляем: \( -31 = 3 \times (-10) — 1 = -31 \), верно.
Все точки лежат на одной прямой.
Дано:
a) \( A(-2; 0) \), \( B\left(3; 2 \frac{1}{2}\right) \), \( C(6; 4) \)
b) \( A(3; 10) \), \( B(3; 12) \), \( C(3; -6) \)
в) \( A(1; 2) \), \( B(2; 5) \), \( C(-10; -31) \)
Нужно доказать, что точки \( A, B, C \) лежат на одной прямой.
Решение:
a) Для точек \( A(-2; 0) \), \( B\left(3; 2 \frac{1}{2}\right) \), \( C(6; 4) \):
1. Найдем уравнение прямой через точки \( A \) и \( B \).
Пусть уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).
Для точки \( A(-2; 0) \): \( 0 = -2k + b \).
Для точки \( B\left(3; 2 \frac{1}{2}\right) \): \( 2.5 = 3k + b \).
Решаем систему:
\( b = 2k \)
\( 2.5 = 3k + 2k \)
\( 2.5 = 5k \)
\( k = 0.5 \)
\( b = 2 \times 0.5 = 1 \)
Уравнение прямой: \( y = 0.5x + 1 \).
2. Проверяем точку \( C(6; 4) \).
Подставляем в уравнение: \( 4 = 0.5 \times 6 + 1 \)
\( 4 = 3 + 1 \)
\( 4 = 4 \), что верно.
Следовательно, \( A, B, C \) лежат на одной прямой.
b) Для точек \( A(3; 10) \), \( B(3; 12) \), \( C(3; -6) \):
1. Все точки имеют одинаковую координату \( x = 3 \), значит, они лежат на вертикальной прямой \( x = 3 \).
2. Проверяем точку \( C(3; -6) \).
\( x = 3 \) для всех точек.
Следовательно, \( A, B, C \) лежат на одной прямой.
в) Для точек \( A(1; 2) \), \( B(2; 5) \), \( C(-10; -31) \):
1. Найдем уравнение прямой через точки \( A \) и \( B \).
Пусть уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).
Для точки \( A(1; 2) \): \( 2 = k \times 1 + b \).
Для точки \( B(2; 5) \): \( 5 = k \times 2 + b \).
Решаем систему:
\( b = 2 — k \)
\( 5 = 2k + (2 — k) \)
\( 5 = k + 2 \)
\( k = 3 \)
\( b = 2 — 3 = -1 \)
Уравнение прямой: \( y = 3x — 1 \).
2. Проверяем точку \( C(-10; -31) \).
Подставляем в уравнение: \( -31 = 3 \times (-10) — 1 \)
\( -31 = -30 — 1 \)
\( -31 = -31 \), что верно.
Следовательно, \( A, B, C \) лежат на одной прямой.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.