ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1003 Атанасян — Подробные Ответы

Вершины треугольника ABC имеют координаты A (−7; 5), В (3; −1), C (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых AB, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

а) Серединные перпендикуляры:

1. Середина AB: \(M(-2; 2)\)
2. Середина BC: \(N(4; 1)\)
3. Середина CA: \(K(-1; 4)\)

Перпендикуляр к AB: \(k_{AB} = -\frac{3}{5}\), перпендикуляр \(\frac{5}{3}\). Уравнение: \(5x — 3y + 16 = 0\).

Перпендикуляр к BC: \(k_{BC} = 2\), перпендикуляр \(-\frac{1}{2}\). Уравнение: \(x + 2y — 6 = 0\).

Перпендикуляр к CA: \(k_{CA} = -\frac{1}{6}\), перпендикуляр \(6\). Уравнение: \(6x — y + 10 = 0\).

б) Уравнения прямых:

AB: \(y — 5 = -\frac{3}{5}(x + 7)\), упрощение: \(3x + 5y — 4 = 0\).

BC: \(y + 1 = 2(x — 3)\), упрощение: \(2x — y — 7 = 0\).

CA: \(y — 3 = -\frac{1}{6}(x — 5)\), упрощение: \(x + 6y — 23 = 0\).

в) Уравнения средних линий:

MN: \(x + 6y — 10 = 0\).

NK: \(3x + 5y — 17 = 0\).

KM: \(2x — y + 6 = 0\).

Эти уравнения описывают серединные перпендикуляры, стороны треугольника и средние линии.

Давайте подробно решим задачу.

а) Серединные перпендикуляры:

1. Середина AB:
\[
M\left(\frac{-7 + 3}{2}; \frac{5 + (-1)}{2}\right) = M(-2; 2)
\]

2. Середина BC:
\[
N\left(\frac{3 + 5}{2}; \frac{-1 + 3}{2}\right) = N(4; 1)
\]

3. Середина CA:
\[
K\left(\frac{5 + (-7)}{2}; \frac{3 + 5}{2}\right) = K(-1; 4)
\]

Теперь найдем угловые коэффициенты серединных перпендикуляров, которые являются обратными и противоположными к угловым коэффициентам сторон:

1. Перпендикуляр к AB:
\[
k_{AB} = \frac{5 — (-1)}{-7 — 3} = -\frac{3}{5}
\]
Угловой коэффициент перпендикуляра:
\[
\frac{5}{3}
\]
Уравнение:
\[
y — 2 = \frac{5}{3}(x + 2)
\]
Упростим:
\[
5x — 3y + 16 = 0
\]

2. Перпендикуляр к BC:
\[
k_{BC} = \frac{3 — (-1)}{5 — 3} = 2
\]
Угловой коэффициент перпендикуляра:
\[
-\frac{1}{2}
\]
Уравнение:
\[
y — 1 = -\frac{1}{2}(x — 4)
\]
Упростим:
\[
x + 2y — 6 = 0
\]

3. Перпендикуляр к CA:
\[
k_{CA} = \frac{3 — 5}{5 — (-7)} = -\frac{1}{6}
\]
Угловой коэффициент перпендикуляра:
\[
6
\]
Уравнение:
\[
y — 4 = 6(x + 1)
\]
Упростим:
\[
6x — y + 10 = 0
\]

б) Уравнения прямых AB, BC и CA:

1. Прямая AB:
\[
y — 5 = -\frac{3}{5}(x + 7)
\]
Упростим:
\[
3x + 5y — 4 = 0
\]

2. Прямая BC:
\[
y + 1 = 2(x — 3)
\]
Упростим:
\[
2x — y — 7 = 0
\]

3. Прямая CA:
\[
y — 3 = -\frac{1}{6}(x — 5)
\]
Упростим:
\[
x + 6y — 23 = 0
\]

в) Уравнения прямых, на которых лежат средние линии:

Средние линии соединяют середины сторон треугольника:

1. Средняя линия MN:
Используем точки M и N:
\[
\text{Угловой коэффициент} = \frac{1 — 2}{4 — (-2)} = -\frac{1}{6}
\]
Уравнение:
\[
y — 2 = -\frac{1}{6}(x + 2)
\]
Упростим:
\[
x + 6y — 10 = 0
\]

2. Средняя линия NK:
Используем точки N и K:
\[
\text{Угловой коэффициент} = \frac{4 — 1}{-1 — 4} = -\frac{3}{5}
\]
Уравнение:
\[
y — 1 = -\frac{3}{5}(x — 4)
\]
Упростим:
\[
3x + 5y — 17 = 0
\]

3. Средняя линия KM:
Используем точки K и M:
\[
\text{Угловой коэффициент} = \frac{2 — 4}{-2 — (-1)} = -2
\]
Уравнение:
\[
y — 4 = -2(x + 1)
\]
Упростим:
\[
2x — y + 6 = 0
\]

Таким образом, мы подробно нашли уравнения всех требуемых прямых.