Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1002 Атанасян — Подробные Ответы
Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки:
а) А (1; −4), B (4; 5), С (3; −2);
б) А (3; −7), B (8; −2), C (6; 2).
Извлечение текста из изображений:
**Изображение 1:**
Дано: Окружность (O; R); A, B, C ∈ (O; R);
a) A(1; -4); B(4; 5); C(3; -2);
6) A(3; -7); B(8; -2); C(6; 2)
Найти: уравнение окружн.
Решение:
a)
1) \( AO = \sqrt{(1-x)^2 + (-4-y)^2} \);
\( BO = \sqrt{(4-x)^2 + (5-y)^2} \);
\( CO = \sqrt{(3-x)^2 + (-2-y)^2} \);
2) \( AO^2 = BO^2 \):
\( (1-x)^2 + (-4-y)^2 = (4-x)^2 + (5-y)^2 \);
\( 1 — 2x + x^2 + 16 + 8y + y^2 = 16 — 8x + x^2 + 25 — 10y + y^2 \);
\(-2x + 8x + 8y + 10y + 17 — 16 — 25 = 0\);
\( 6x + 18y — 24 = 0 \);
\( x + 3y — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 — 3y \);
\( BO^2 = CO^2 \):
\( (4-x)^2 + (5-y)^2 = (3-x)^2 + (-2-y)^2 \);
\( 16 — 8x + x^2 + 25 — 10y + y^2 = 9 — 6x + x^2 + 4 + 4y + y^2 \);
\(-8x — 10y + 41 + 6x — 4y — 13 = 0\);
\(-14y — 2x + 28 = 0\);
\( 7y + x — 14 = 0 \Rightarrow x = 14 — 7y \);
3) \( 14 — 7y = 4 — 3y \Rightarrow 4y = 10 \Rightarrow y = \frac{5}{2} = 2,5 \);
\( x = 4 — 3 \cdot 2,5 = 4 — 7,5 = -3,5 \Rightarrow O(-3,5; 2,5) \);
4) \( R = \sqrt{(4 + 3,5)^2 + (5 — 2,5)^2} = \sqrt{\frac{225}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \sqrt{\frac{125}{2}} = \sqrt{62,5} \);
5) Уравнение окружности:
\( (x + 3,5)^2 + (y — 2,5)^2 = 62,5 \);
**Изображение 2:**
6)
1) \( AO = \sqrt{(3-x)^2 + (-7-y)^2} \);
\( BO = \sqrt{(8-x)^2 + (-2-y)^2} \);
\( CO = \sqrt{(6-x)^2 + (2-y)^2} \);
2) \( AO^2 = BO^2 \):
\( (3-x)^2 + (-7-y)^2 = (8-x)^2 + (-2-y)^2 \);
\( 9 — 6x + x^2 + 49 + 14y + y^2 = 64 — 16x + x^2 + 4 + 4y + y^2 \);
\(-6x + 14y + 58 + 16x — 4y — 68 = 0\);
\( 10x + 10y — 10 = 0 \);
\( x + y — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 — y \);
\( BO^2 = CO^2 \):
\( (8-x)^2 + (-2-y)^2 = (6-x)^2 + (2-y)^2 \);
\( 64 — 16x + x^2 + 4 + 4y + y^2 = 36 — 12x + x^2 + 4 — 4y + y^2 \);
\(-16x + 4y + 68 + 12x + 4y — 40 = 0\);
\( 8y — 4x + 28 = 0 \);
\( 2y — x + 7 = 0 \Rightarrow x = 2y + 7 \);
3) \( 2y + 7 = 1 — y \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2 \);
\( x = 2 \cdot (-2) + 7 = -4 + 7 = 3 \Rightarrow O(3; -2) \);
4) \( R = \sqrt{(6 — 3)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \);
5) Уравнение окружности:
\( (x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \);
Ответ:
a) \( (x + 3,5)^2 + (y — 2,5)^2 = 62,5 \);
6) \( (x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \).
Давайте подробно разберем решение задачи.
Дано: точки \(A(1, -4)\), \(B(4, 5)\) и \(C(3, -2)\) лежат на окружности с центром \(O(x, y)\) и радиусом \(R\). Требуется найти уравнение окружности.
1. Найдем уравнение для радиусов \(OA\) и \(OB\):
\[
OA = \sqrt{(1-x)^2 + (-4-y)^2}
\]
\[
OB = \sqrt{(4-x)^2 + (5-y)^2}
\]
2. Приравняем квадраты радиусов, так как \(A\) и \(B\) лежат на окружности:
\[
(1-x)^2 + (-4-y)^2 = (4-x)^2 + (5-y)^2
\]
3. Раскроем скобки:
\[
(1-x)^2 = 1 — 2x + x^2
\]
\[
(-4-y)^2 = 16 + 8y + y^2
\]
\[
(4-x)^2 = 16 — 8x + x^2
\]
\[
(5-y)^2 = 25 — 10y + y^2
\]
4. Подставим:
\[
1 — 2x + x^2 + 16 + 8y + y^2 = 16 — 8x + x^2 + 25 — 10y + y^2
\]
5. Упростим:
\[
1 — 2x + 16 + 8y = 16 — 8x + 25 — 10y
\]
\[
-2x + 8y + 17 = -8x + 15
\]
\[
6x + 18y = 24
\]
\[
x + 3y = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 4 — 3y
\]
6. Теперь приравняем радиусы \(OB\) и \(OC\):
\[
(4-x)^2 + (5-y)^2 = (3-x)^2 + (-2-y)^2
\]
7. Раскроем скобки:
\[
(3-x)^2 = 9 — 6x + x^2
\]
\[
(-2-y)^2 = 4 + 4y + y^2
\]
8. Подставим:
\[
16 — 8x + 25 — 10y + y^2 = 9 — 6x + 4 + 4y + y^2
\]
9. Упростим:
\[
-8x — 10y + 41 = -6x + 4y + 13
\]
\[
-14y — 2x = -28
\]
\[
7y + x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = 14 — 7y
\]
10. Решим систему уравнений:
Подставим \(x = 4 — 3y\) в \(x = 14 — 7y\):
\[
4 — 3y = 14 — 7y
\]
\[
4y = 10
\]
\[
y = \frac{5}{2} = 2,5
\]
\[
x = 4 — 3 \cdot 2,5 = 4 — 7,5 = -3,5
\]
11. Найдем радиус \(R\):
\[
R = \sqrt{(4 + 3,5)^2 + (5 — 2,5)^2} = \sqrt{8^2 + 2,5^2} = \sqrt{62,5}
\]
12. Уравнение окружности:
\[
(x + 3,5)^2 + (y — 2,5)^2 = 62,5
\]
Таким образом, уравнение окружности с центром в точке \((-3,5; 2,5)\) и радиусом \(\sqrt{62,5}\) будет:
\[
(x + 3,5)^2 + (y — 2,5)^2 = 62,5
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.