Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1000 Атанасян — Подробные Ответы
Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:
a) \((x-1)^2+(y+2)^2=25\);
б) \(x^2+(y+7)^2=1\);
в) \(x^2+y^2+8x-4y+40=0\);
г) \(x^2+y^2-2x+4y-20=0\);
д) \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\).
а) Уравнение \((x — 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\) описывает окружность с центром в точке \((1; -2)\) и радиусом \(R = 5\).
б) Уравнение \(x^2 + (y + 7)^2 = 1\) описывает окружность с центром в точке \((0; -7)\) и радиусом \(R = 1\).
в) Уравнение \(x^2 + y^2 + 8x — 4y + 40 = 0\) не является окружностью, так как при приведении к стандартному виду получается выражение \((x + 4)^2 + (y — 2)^2 = -20\), что невозможно, так как квадрат радиуса не может быть отрицательным.
г) Уравнение \(x^2 + y^2 — 2x + 4y — 20 = 0\) описывает окружность с центром в точке \((1; -2)\) и радиусом \(R = 5\).
д) Уравнение \(x^2 + y^2 — 4x — 2y + 1 = 0\) описывает окружность с центром в точке \((2; 1)\) и радиусом \(R = 2\).
Давайте подробно рассмотрим каждое из уравнений, чтобы определить, являются ли они уравнениями окружностей, и найдем их центр и радиус, если это так.
а) Уравнение \((x — 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\).
Это уравнение окружности в стандартной форме \((x — a)^2 + (y — b)^2 = R^2\), где \((a, b)\) — центр окружности, а \(R\) — радиус. Здесь центр \((1, -2)\) и квадрат радиуса \(R^2 = 25\), следовательно, радиус \(R = \sqrt{25} = 5\).
б) Уравнение \(x^2 + (y + 7)^2 = 1\).
Это также уравнение окружности в стандартной форме. Центр окружности \((0, -7)\), а квадрат радиуса \(R^2 = 1\), следовательно, радиус \(R = \sqrt{1} = 1\).
в) Уравнение \(x^2 + y^2 + 8x — 4y + 40 = 0\).
Приведем уравнение к стандартной форме:
1. Сгруппируем и выделим полные квадраты для \(x\) и \(y\):
\[
(x^2 + 8x) + (y^2 — 4y) = -40
\]
2. Для \(x\):
\[
x^2 + 8x = (x + 4)^2 — 16
\]
3. Для \(y\):
\[
y^2 — 4y = (y — 2)^2 — 4
\]
4. Подставим обратно:
\[
(x + 4)^2 — 16 + (y — 2)^2 — 4 = -40
\]
5. Упростим:
\[
(x + 4)^2 + (y — 2)^2 = -20
\]
Так как правая часть уравнения отрицательна, это не является уравнением окружности.
г) Уравнение \(x^2 + y^2 — 2x + 4y — 20 = 0\).
Приведем уравнение к стандартной форме:
1. Сгруппируем и выделим полные квадраты:
\[
(x^2 — 2x) + (y^2 + 4y) = 20
\]
2. Для \(x\):
\[
x^2 — 2x = (x — 1)^2 — 1
\]
3. Для \(y\):
\[
y^2 + 4y = (y + 2)^2 — 4
\]
4. Подставим обратно:
\[
(x — 1)^2 — 1 + (y + 2)^2 — 4 = 20
\]
5. Упростим:
\[
(x — 1)^2 + (y + 2)^2 = 25
\]
Центр окружности \((1, -2)\), квадрат радиуса \(R^2 = 25\), следовательно, радиус \(R = 5\).
д) Уравнение \(x^2 + y^2 — 4x — 2y + 1 = 0\).
Приведем уравнение к стандартной форме:
1. Сгруппируем и выделим полные квадраты:
\[
(x^2 — 4x) + (y^2 — 2y) = -1
\]
2. Для \(x\):
\[
x^2 — 4x = (x — 2)^2 — 4
\]
3. Для \(y\):
\[
y^2 — 2y = (y — 1)^2 — 1
\]
4. Подставим обратно:
\[
(x — 2)^2 — 4 + (y — 1)^2 — 1 = -1
\]
5. Упростим:
\[
(x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 4
\]
Центр окружности \((2, 1)\), квадрат радиуса \(R^2 = 4\), следовательно, радиус \(R = 2\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.