Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 85 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.
Дано: биссектрисы BM и BK углов ABC и CBD перпендикулярны. Нужно доказать, что точки A, B и D лежат на одной прямой.
Рассмотрим угол ABC. Пусть угол ABC равен 2x, так как BM является его биссектрисой, то угол ABM равен x, а угол CBM также равен x.
Рассмотрим угол CBD. Пусть угол CBD равен 2y, так как BK является его биссектрисой, то угол CBK равен y, а угол DBK также равен y.
Так как биссектрисы BM и BK перпендикулярны, то угол MBK равен 90 градусов. Угол MBK состоит из углов CBM и CBK, то есть x + y = 90 градусов.
Теперь рассмотрим угол ABD. Он состоит из углов ABM, CBM, CBK и DBK. Подставим значения: угол ABD = x + x + y + y = 2x + 2y. Так как x + y = 90 градусов, то 2x + 2y = 180 градусов. Следовательно, угол ABD равен 180 градусов, а это значит, что точки A, B и D лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим задачу о доказательстве того, что точки A, B и D лежат на одной прямой, если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны.
Дано: угол ABC и угол CBD. Биссектрисы этих углов обозначены как BM и BK соответственно, причем известно, что BM перпендикулярна BK, то есть угол MBK равен 90°. Необходимо доказать, что точки A, B и D лежат на одной прямой.
Шаг 1. Обозначим угол KBC через x. Тогда угол CBK, который является второй частью угла CBD, также равен x, так как BK является биссектрисой угла CBD.
Шаг 2. Угол CBM, смежный с углом KBC, равен 90° — x, так как биссектрисы BM и BK перпендикулярны. Следовательно, угол MBC, который является частью угла ABC, равен 90° — x.
Шаг 3. Так как BM является биссектрисой угла ABC, то она делит его пополам. Таким образом, оба угла, на которые делится угол ABC, равны 90° — x. То есть угол ABM равен 90° — x, а угол MBC также равен 90° — x.
Шаг 4. Рассмотрим угол CBD. Биссектриса BK делит этот угол на два равных угла. Мы обозначили угол KBC через x. Следовательно, угол DBK также равен x.
Шаг 5. Рассчитаем угол ABD. Угол ABD состоит из двух частей: угла ABC и угла CBD. Подставим значения этих углов с учетом их деления биссектрисами:
угол ABD = угол ABM + угол MBC + угол DBK + угол KBC.
Подставляем значения:
угол ABD = (90° — x) + (90° — x) + x + x.
Упростим выражение:
угол ABD = 180°.
Шаг 6. Угол ABD равен 180°. Это означает, что точки A, B и D лежат на одной прямой, так как развернутый угол в 180° образуется только тогда, когда точки лежат на одной прямой.
Вывод: мы доказали, что при условии перпендикулярности биссектрис BM и BK точки A, B и D лежат на одной прямой.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.