Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 66 Атанасян — Подробные Ответы
На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если:
a) ∠2 + ∠4 = 220°;
б) 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4;
в) ∠2 − ∠1 = 30°.
а) Углы 2 и 4 являются смежными с углами 1 и 3. Сумма всех углов равна 360°. Если ∠2 + ∠4 = 220°, то ∠1 + ∠3 = 360° — 220° = 140°. Так как углы попарно равны, то ∠2 = ∠4 = 110°, а ∠1 = ∠3 = 70°.
б) Условие 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4. Из предыдущего пункта известно, что ∠1 + ∠3 = 140°, тогда ∠2 + ∠4 = 3 × 140° = 420°. Но ∠2 + ∠4 = 360° (всего круг). Решение невозможно, ошибка в условии.
в) Разность углов ∠2 — ∠1 = 30°. Пусть ∠1 = x, тогда ∠2 = x + 30°. Сумма смежных углов ∠1 + ∠2 = 180°. Подставим: x + (x + 30°) = 180°. Решая, получаем 2x + 30° = 180°, откуда x = 75°. Тогда ∠1 = 75°, ∠2 = 105°, ∠3 = 75°, ∠4 = 105°.
а) Условие: ∠2 + ∠4 = 220°.
- Углы 2 и 4 являются вертикальными, поэтому они равны: ∠2 = ∠4. Пусть ∠2 = ∠4 = x.
- Углы 1 и 3 также равны между собой (вертикальные углы), пусть ∠1 = ∠3 = y.
- Сумма всех углов вокруг точки пересечения равна 360°: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.
- Так как ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4, это можно записать как: 2y + 2x = 360°.
- Упростим: y + x = 180° (1).
- Из условия дано: ∠2 + ∠4 = 220°, то есть 2x = 220°.
- Найдем x: x = 220° / 2 = 110°.
- Подставим x = 110° в уравнение (1): y + 110° = 180°.
- Найдем y: y = 180° — 110° = 70°.
Ответ: ∠1 = ∠3 = 70°, ∠2 = ∠4 = 110°.
б) Условие: 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4.
- Пусть ∠1 = ∠3 = y, а ∠2 = ∠4 = x (так как вертикальные углы равны).
- Сумма всех углов равна 360°: 2y + 2x = 360°.
- Упростим: y + x = 180° (1).
- Из условия 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4, то есть 3(2y) = 2x.
- Упростим: 6y = 2x.
- Разделим на 2: 3y = x (2).
- Подставим x = 3y из уравнения (2) в уравнение (1): y + 3y = 180°.
- Упростим: 4y = 180°.
- Найдем y: y = 180° / 4 = 45°.
- Найдем x: x = 3y = 3 × 45° = 135°.
Ответ: ∠1 = ∠3 = 45°, ∠2 = ∠4 = 135°.
в) Условие: ∠2 — ∠1 = 30°.
- Пусть ∠1 = y, а ∠2 = x. Тогда из условия x — y = 30° (1).
- Углы 1 и 3 равны: ∠1 = ∠3 = y.
- Углы 2 и 4 равны: ∠2 = ∠4 = x.
- Сумма всех углов равна 360°: 2y + 2x = 360°.
- Упростим: y + x = 180° (2).
- Решим систему уравнений: a) x — y = 30° (1), b) y + x = 180° (2).
- Из уравнения (2) выразим x: x = 180° — y.
- Подставим x = 180° — y в уравнение (1): (180° — y) — y = 30°.
- Раскроем скобки: 180° — 2y = 30°.
- Найдем y: 2y = 180° — 30° = 150°, y = 150° / 2 = 75°.
- Найдем x: x = 180° — y = 180° — 75° = 105°.
Ответ: ∠1 = ∠3 = 75°, ∠2 = ∠4 = 105°.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.