Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 350 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольнике ABC высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный.
Дано: треугольник ABC; AA₁ и BB₁ — высоты; AA₁ ≥ BC; BB₁ ≥ AC. Требуется доказать, что треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный.
Рассмотрим треугольник AA₁C. Он прямоугольный, гипотенуза AC больше катета AA₁, значит AA₁ < AC. По условию AC ≤ BB₁, следовательно, AA₁ < BB₁. Рассмотрим треугольник BB₁C. Он также прямоугольный, гипотенуза BC больше катета BB₁, значит BB₁ < BC. По условию BC ≤ AA₁, следовательно, BB₁ < AA₁. Получаем противоречие: AA₁ < BB₁ и BB₁ < AA₁. Значит, точки A₁, B₁ и C совпадают, угол C = 90°.
По условию AA₁ = BC и BB₁ = AC. Из этого следует, что AC ≥ BC и BC ≥ AC, значит AC = BC. Треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный.
Дано: треугольник ABC; AA₁ и BB₁ — высоты; AA₁ ≥ BC; BB₁ ≥ AC. Требуется доказать, что треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный.
1. Для начала докажем, что угол C равен 90 градусов. Предположим, что точки A₁ и B₁ не совпадают с точкой C. Это предположение проверим на противоречие.
2. Рассмотрим треугольник AA₁C. Этот треугольник прямоугольный, так как AA₁ — высота. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов, следовательно, AC > AA₁. По условию AC ≤ BB₁, значит, выполняется неравенство AA₁ < BB₁.
3. Теперь рассмотрим треугольник BB₁C. Этот треугольник тоже прямоугольный, так как BB₁ — высота. В этом треугольнике гипотенуза BC больше любого из катетов, следовательно, BC > BB₁. По условию BC ≤ AA₁, значит, выполняется неравенство BB₁ < AA₁.
4. Таким образом, мы получили два противоречащих друг другу неравенства: AA₁ < BB₁ и BB₁ < AA₁. Это противоречие говорит о том, что наше первоначальное предположение, что точки A₁ и B₁ не совпадают с точкой C, неверно. Следовательно, точки A₁, B₁ и C совпадают. Из этого следует, что угол C равен 90 градусов.
5. Теперь докажем равнобедренность треугольника ABC. По условию AA₁ = BC и BB₁ = AC. Так как уже доказано, что угол C равен 90 градусов, то треугольник ABC является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике катеты AA₁ и BB₁ равны BC и AC соответственно. Из условий AA₁ ≥ BC и BB₁ ≥ AC следует, что AC ≥ BC и BC ≥ AC. Следовательно, AC = BC.
6. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным, что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.