Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 345 Атанасян — Подробные Ответы
Через вершину А треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника ABC.
Дано: треугольник ABC, AE — биссектриса угла CAB, MH перпендикулярно AE, BH перпендикулярно MH. Требуется доказать, что периметр четырехугольника BCHN больше периметра треугольника ABC.
Продлим BA до точки D так, чтобы AD = AC. Углы 1 и 2 равны, так как AE — биссектриса. Углы 3 и 4 равны, так как они дополняют углы 1 и 2 до 90 градусов. Углы 3 и 5 равны как вертикальные, значит, угол 4 равен углу 5. Углы DAH и CAH равны, так как угол DAH = 180° − угол 5, а угол CAH = 180° − угол 4. В треугольниках DAH и CAH: AD = AC, AH — общая сторона, углы DAH и CAH равны. Следовательно, треугольники равны, значит, DH = CH. По неравенству треугольника DH + BH > DB. Так как DB = AC + AB и DH = CH, то CH + BH > AC + AB. Периметр четырехугольника BCHN равен CH + BH + BC, а периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC. Из CH + BH > AC + AB следует, что периметр BCHN больше периметра ABC. Доказано.
Дано: треугольник ABC, AE — биссектриса угла CAB, MH перпендикулярно AE, BH перпендикулярно MH. Требуется доказать, что периметр четырехугольника BCHN больше периметра треугольника ABC.
1. Продлим отрезок BA до точки D так, чтобы AD = AC. Таким образом, отрезок AD равен отрезку AC по построению.
2. Углы 1 и 2 равны, так как AE является биссектрисой угла CAB. По определению биссектрисы она делит угол пополам.
3. Углы 3 и 4 равны. Это следует из того, что MH перпендикулярно AE, а углы 3 и 4 дополняют углы 1 и 2 до 90 градусов. Так как углы 1 и 2 равны, то равны и углы 3 и 4.
4. Углы 3 и 5 равны, так как они вертикальные. Вертикальные углы всегда равны. Следовательно, угол 4 равен углу 5.
5. Рассмотрим углы DAH и CAH. Угол DAH равен 180 градусов минус угол 5, а угол CAH равен 180 градусов минус угол 4. Так как угол 4 равен углу 5, то углы DAH и CAH равны.
6. Рассмотрим треугольники DAH и CAH. В них:
— стороны AD и AC равны по построению;
— сторона AH является общей;
— углы DAH и CAH равны, как было доказано выше.
Из равенства двух сторон и угла между ними следует, что треугольники DAH и CAH равны. Из равенства треугольников следует, что DH равно CH.
7. По неравенству треугольника для треугольника DBH имеем: DH + BH > DB. Так как DB состоит из двух отрезков, то DB = DA + AB. Подставив AD = AC, получаем DB = AC + AB.
8. Так как DH равно CH, то вместо DH можно записать CH. Тогда из неравенства DH + BH > DB следует, что CH + BH > AC + AB.
9. Периметр четырехугольника BCHN равен сумме сторон CH, BH и BC. Периметр треугольника ABC равен сумме сторон AB, BC и AC. Сравним эти периметры. Из доказанного выше CH + BH > AC + AB. Добавив к обеим частям неравенства сторону BC, получаем CH + BH + BC > AC + AB + BC.
10. Таким образом, периметр четырехугольника BCHN больше периметра треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.