Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 309 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольнике с неравными сторонами AB и АС проведены высота AH и биссектриса AD. Докажите, что гол HAD равен полуразности углов В и С.
Дано: треугольник ABC, AB ≠ BC ≠ AC, AH — высота, AD — биссектриса. Требуется доказать, что угол HAD равен полуразности углов B и C.
Решение:
1. Угол BAD равен углу DAC, так как AD — биссектриса.
2. В прямоугольном треугольнике HAD угол HAD равен 90° — угол HDA.
3. Угол HDA является внешним углом треугольника ADC, следовательно, угол HDA равен сумме углов C и CAD.
4. Так как угол BAD равен углу DAC, то угол HDA равен сумме угла C и угла BAD.
5. Подставим это в формулу для угла HAD: угол HAD = 90° — (угол C + угол BAD).
6. Упростим выражение: угол HAD = 90° — угол C — угол BAD.
7. Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180°, выразим угол HAD через углы B и C: угол HAD = (угол B — угол C) / 2.
Таким образом, доказано, что угол HAD равен полуразности углов B и C.
Дано: треугольник ABC, AB ≠ BC ≠ AC. Проведены высота AH и биссектриса AD. Требуется доказать, что угол HAD равен полуразности углов B и C.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AD — биссектриса, то угол BAD равен углу DAC. Это следует из свойства биссектрисы, которая делит угол пополам.
2. Рассмотрим треугольник HAD. Этот треугольник является прямоугольным, так как AH — высота, проведенная к стороне BC. Следовательно, угол HDA = 90°.
3. Угол HDA является внешним углом треугольника ADC. По свойству внешнего угла он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, угол HDA = угол C + угол CAD.
4. Угол CAD равен углу BAD, так как AD — биссектриса. Подставим это в формулу для угла HDA: угол HDA = угол C + угол BAD.
5. Теперь выразим угол HAD. В треугольнике HAD угол HAD = 90° — угол HDA (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°). Подставим значение угла HDA: угол HAD = 90° — (угол C + угол BAD).
6. Упростим выражение: угол HAD = 90° — угол C — угол BAD.
7. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Следовательно, угол A + угол B + угол C = 180°. Выразим угол A: угол A = 180° — угол B — угол C.
8. Угол CAD равен половине угла A, так как AD — биссектриса. Подставим значение угла A: угол CAD = (180° — угол B — угол C) / 2.
9. Подставим значение угла CAD в формулу для угла HDA: угол HDA = угол C + (180° — угол B — угол C) / 2. Упростим: угол HDA = угол C + 90° — угол B / 2 — угол C / 2.
10. Теперь выразим угол HAD: угол HAD = 90° — угол HDA. Подставим значение угла HDA: угол HAD = 90° — (угол C + 90° — угол B / 2 — угол C / 2). Упростим: угол HAD = угол B / 2 — угол C / 2.
11. Запишем окончательный результат: угол HAD = (угол B — угол C) / 2.
Таким образом, доказано, что угол HAD равен полуразности углов B и C.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.