Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 300 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.
Высота из вершины тупого угла (C) пересекает сторону AB.
Высота из острого угла A пересекает продолжение стороны BC.
Высота из острого угла B пересекает продолжение стороны AC.
Объяснение:
- В тупоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины тупого угла, всегда падает на противоположную сторону треугольника.
- Высоты, проведённые из вершин острых углов, пересекают продолжения противоположных сторон, так как угол между высотой и стороной оказывается внешним.
Рассмотрим тупоугольный треугольник ABC, где угол C является тупым (\[угол C > 90^\circ\]). Требуется доказать, что основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, лежат на продолжениях сторон.
1. Проведём высоты из всех вершин треугольника. Пусть высота из вершины C пересекает сторону AB в точке D, высота из вершины A пересекает продолжение стороны BC в точке E, а высота из вершины B пересекает продолжение стороны AC в точке F.
2. Рассмотрим высоту CD, проведённую из тупого угла C. Высота по определению перпендикулярна стороне AB. Так как угол C тупой (\[угол C > 90^\circ\]), то стороны AC и BC расходятся, а сторона AB оказывается противоположной стороне угла C. Следовательно, основание высоты D лежит на стороне AB, так как перпендикуляр, опущенный из вершины C, пересекает саму сторону AB внутри треугольника.
3. Рассмотрим высоту AE, проведённую из вершины A. Высота по определению перпендикулярна стороне BC. Поскольку угол A острый (\[угол A < 90^\circ\]), вершина A находится внутри треугольника. Однако сторона BC продолжает уходить за пределы треугольника, так как угол C тупой. Поэтому перпендикуляр, опущенный из вершины A, пересекает продолжение стороны BC в точке E.
4. Аналогично, рассмотрим высоту BF, проведённую из вершины B. Высота по определению перпендикулярна стороне AC. Поскольку угол B острый (\[угол B < 90^\circ\]), вершина B также находится внутри треугольника. Однако сторона AC, подобно стороне BC, продолжает уходить за пределы треугольника. Поэтому перпендикуляр, опущенный из вершины B, пересекает продолжение стороны AC в точке F.
5. Таким образом, в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, лежат на продолжениях сторон.
Доказательство завершено.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.