Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 299 Атанасян — Подробные Ответы
На рисунке 146 AB = АС, AP = PQ = QR = RB = BC. Найдите угол А.
Треугольник ABC равнобедренный, AB = AC, углы B и C равны. Пусть угол B = угол C = x, угол A = y.
В треугольнике APQ (равнобедренный) угол A = 2PQA = y, угол APQ = 180° — 2y.
Треугольник APQR равнобедренный, угол QPR = 2y, угол QRP = 180° — 4y.
Треугольник AQRB равнобедренный, углы BQR и RBQ равны 3y, угол QRB = 180° — 6y.
Треугольник ARBC равнобедренный, углы BRC и BCR равны 4y.
В треугольнике ABC сумма углов: y + 4y + 4y = 180°, откуда 9y = 180°, y = 20°.
Ответ: угол A = 20°.
Решение:
1. Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = AC. Следовательно, углы B и C равны. Пусть угол B = угол C = x, а угол A = y.
2. Рассмотрим треугольник APQ, который также равнобедренный (AP = PQ). В равнобедренном треугольнике угол у вершины равен удвоенному углу при основании. Значит, угол A = 2 угла PQA, то есть A = 2PQA = y. Угол APQ можно найти из суммы углов треугольника: угол APQ = 180° — угол A — угол PQA. Подставляем угол A = y и PQA = y/2: угол APQ = 180° — y — y/2 = 180° — 2y.
3. Рассмотрим треугольник APQR, который также равнобедренный (AP = QR). Углы APQ и QPR являются смежными, их сумма равна 180°. Значит, угол QPR = 180° — угол APQ. Подставляем угол APQ = 180° — 2y: угол QPR = 180° — (180° — 2y) = 2y. Угол QRP в треугольнике APQR можно найти по теореме о сумме углов треугольника: угол QRP = 180° — угол QPR — угол APQ. Подставляем: угол QRP = 180° — 2y — (180° — 2y) = 180° — 4y.
4. Рассмотрим треугольник AQRB, который равнобедренный (RB = QR). Углы BQR и RBQ равны, так как треугольник равнобедренный. Угол BQR можно найти как смежный с углом PQA + QRP. Угол BQR = 180° — (угол PQA + угол QRP). Подставляем угол PQA = y/2 и угол QRP = 180° — 4y: угол BQR = 180° — (y/2 + 180° — 4y) = 180° — 180° + 4y — y/2 = 3y. Следовательно, угол RBQ также равен 3y. Угол QRB можно найти из суммы углов треугольника: угол QRB = 180° — угол BQR — угол RBQ. Подставляем: угол QRB = 180° — 3y — 3y = 180° — 6y.
5. Рассмотрим треугольник ARBC, который равнобедренный (RB = BC). Углы BRC и BCR равны. Угол BRC можно найти как смежный с углом PRQ + BRQ. Угол BRC = 180° — (угол PRQ + угол BRQ). Подставляем угол PRQ = 2y и угол BRQ = 180° — 6y: угол BRC = 180° — (2y + 180° — 6y) = 180° — 180° + 6y — 2y = 4y. Следовательно, угол BCR также равен 4y.
6. Рассмотрим треугольник ABC. Углы B и C равны (по свойству равнобедренного треугольника). Сумма углов треугольника равна 180°. Угол A + угол B + угол C = 180°. Подставляем: y + 4y + 4y = 180°. Получаем: 9y = 180°. Отсюда y = 20°.
Ответ: угол A = 20°.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.