ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 298 Атанасян — Подробные Ответы

На рисунке 145 AD || BE, AC = AD и ВС =  BE. Докажите, что угол DСЕ — прямой.

1. Треугольник DAC равнобедренный, так как AC = AD. Следовательно, углы ∠D и ∠ACD равны.
2. Треугольник BCE равнобедренный, так как BC = BE. Следовательно, углы ∠BCE и ∠E равны.
3. Прямые AD и BE параллельны, а AB является секущей. Из этого следует, что углы ∠A и ∠B являются односторонними и их сумма равна 180°.
4. Используя сумму углов треугольников DAC и BCE, а также свойства смежных углов, доказывается, что угол DCE равен 90°.

Дано: AD || BE, AC = AD, BC = BE.
Требуется доказать, что угол DCE — прямой.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник DAC. Так как AC = AD, то треугольник DAC является равнобедренным. Из этого следует, что углы ∠D и ∠ACD равны.

2. Рассмотрим треугольник BCE. Так как BC = BE, то треугольник BCE также является равнобедренным. Следовательно, углы ∠BCE и ∠E равны.

3. По условию AD || BE, а AB — секущая. Углы ∠A и ∠B являются односторонними углами, следовательно, их сумма равна 180 градусам:
∠A + ∠B = 180°.

4. В треугольнике DAC сумма углов равна 180 градусам:
∠D + ∠A + ∠ACD = 180°.
Из равнобедренности треугольника DAC:
∠D = ∠ACD.
Подставляем:
2∠ACD + ∠A = 180°.
Отсюда:
∠ACD = (180° — ∠A) / 2.

5. В треугольнике BCE сумма углов также равна 180 градусам:
∠B + ∠E + ∠BCE = 180°.
Из равнобедренности треугольника BCE:
∠E = ∠BCE.
Подставляем:
2∠BCE + ∠B = 180°.
Отсюда:
∠BCE = (180° — ∠B) / 2.

6. Рассмотрим смежные углы ∠ACD и ∠BCE, которые вместе составляют угол DCE:
∠DCE = ∠ACD + ∠BCE.

7. Подставляем найденные выражения для ∠ACD и ∠BCE:
∠DCE = (180° — ∠A) / 2 + (180° — ∠B) / 2.
Упрощаем:
∠DCE = [180° — ∠A + 180° — ∠B] / 2.
∠DCE = (360° — (∠A + ∠B)) / 2.

8. Из условия ∠A + ∠B = 180°, подставляем:
∠DCE = (360° — 180°) / 2.
∠DCE = 180° / 2.
∠DCE = 90°.

Ответ: угол DCE — прямой.