ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 269 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и BH = B₁H₁, где BH и B₁H₁ — высоты ∆ABC и ∆A₁B₁C₁

Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, где ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 и BH = B1H1 (высоты).

Доказательство:
1. ΔBHC и ΔB1H1C1 прямоугольные, так как BH и B1H1 — высоты. Углы ∠B = ∠B1 и BH = B1H1, следовательно, ΔBHC = ΔB1H1C1 по катету и прилежащему углу.
2. Аналогично, ΔAHC = ΔA1H1C1 по катету и прилежащему углу.
3. Таким образом, ΔABC = ΔA1B1C1 по стороне и двум прилежащим углам.

Доказано.

Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, где углы ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, а высоты BH = B1H1. Требуется доказать, что ΔABC = ΔA1B1C1.

Рассмотрим решение:

1. ΔBHC и ΔB1H1C1 являются прямоугольными треугольниками, так как BH и B1H1 — это высоты, проведенные из вершин углов B и B1 на противоположные стороны AC и A1C1. Угол HCB = угол HC1B1 = 90 градусов.

2. В треугольниках ΔBHC и ΔB1H1C1 по условию равны:
— катеты BH = B1H1 (по условию задачи),
— углы ∠B = ∠B1 (по условию задачи).

Следовательно, треугольники ΔBHC и ΔB1H1C1 равны по катету и прилежащему углу. Из равенства треугольников следует, что CH = C1H1.

3. Аналогично рассмотрим треугольники ΔAHC и ΔA1H1C1. Эти треугольники также являются прямоугольными (углы HCA и HC1A1 равны 90 градусов). В них:
— катеты CH = C1H1 (доказано ранее),
— углы ∠A = ∠A1 (по условию задачи).

Следовательно, треугольники ΔAHC и ΔA1H1C1 равны по катету и прилежащему углу. Из равенства треугольников следует, что AH = A1H1.

4. Теперь рассмотрим треугольники ΔABC и ΔA1B1C1. В них:
— стороны AB и A1B1 равны, так как они состоят из равных отрезков AH и BH (доказано ранее),
— углы ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1 (по условию задачи).

Следовательно, треугольники ΔABC и ΔA1B1C1 равны по стороне и двум прилежащим углам.

Таким образом, доказано, что ΔABC = ΔA1B1C1.