ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 268 Атанасян — Подробные Ответы

Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Утверждение: Если катет и противолежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Пусть даны два прямоугольных треугольника. В них равны один катет и противолежащий угол. Из равенства углов следует равенство второго угла, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, треугольники подобны. Так как один катет равен, коэффициент подобия равен 1, значит, треугольники равны. Доказано.

Утверждение: Если катет и противолежащий угол одного прямоугольного треугольника равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁. В каждом из них угол C и угол C₁ прямые (по определению прямоугольного треугольника). Пусть катет AC = A₁C₁, а угол B = угол B₁.

2. Рассмотрим острые углы треугольников. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно, угол A = 90° — угол B, а угол A₁ = 90° — угол B₁.

3. Так как угол B = угол B₁, то и угол A = угол A₁. Таким образом, все углы треугольника ABC равны соответствующим углам треугольника A₁B₁C₁.

4. Теперь рассмотрим стороны треугольников. По условию катет AC = A₁C₁. Углы A и B равны углам A₁ и B₁ соответственно. Следовательно, по теореме о пропорциональности сторон в подобных треугольниках, стороны AB и BC пропорциональны сторонам A₁B₁ и B₁C₁.

5. Так как катет AC = A₁C₁ и углы равны, коэффициент подобия равен 1. Это означает, что стороны AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁.

6. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Доказано.