Учебник по геометрии для 7-9 классов авторства Атанасяна — это не просто пособие, а настоящая находка для школьников и преподавателей. Он предлагает систематизированный подход к изучению геометрии, который помогает развивать логическое мышление и пространственное восприятие.
Основные особенности учебника:
- Структурированность материала:
- Учебник разделен на логические главы, каждая из которых охватывает определенную тему геометрии, что позволяет легко ориентироваться в материале.
- Доступность изложения:
- Язык и стиль написания адаптированы для школьников, что делает сложные концепции более понятными и доступными.
- Многообразие задач:
- В учебнике представлено множество задач различной сложности, что позволяет каждому ученику найти подходящие для себя упражнения и развивать свои навыки.
- Иллюстрации и схемы:
- Наглядные иллюстрации и схемы помогают лучше усвоить материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
- Практические примеры:
- Учебник включает практические примеры из реальной жизни, что делает изучение геометрии более увлекательным и актуальным.
- Поддержка для учителей:
- Включены методические рекомендации, которые помогут преподавателям эффективно использовать материал на уроках.
Заключение
Учебник Атанасяна по геометрии — это отличный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе доступность, разнообразие и практическую направленность. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для использования в классе, что делает его незаменимым помощником в образовательном процессе.
ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 267 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.
Дано два остроугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что стороны BC и B₁C₁ равны, высоты BH и B₁D равны, высоты CF и C₁E равны. Требуется доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁.
Рассмотрим треугольники BHC и B₁DC₁. Они прямоугольные, так как BH и B₁D — высоты. У них равны гипотенузы BC и B₁C₁, а также катеты BH и B₁D. Следовательно, треугольники BHC и B₁DC₁ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что углы ∠BHC и ∠B₁DC₁ равны, а также ∠HBC = ∠DB₁C₁.
Теперь рассмотрим треугольники BCF и B₁C₁E. Они также прямоугольные, так как CF и C₁E — высоты. У них равны гипотенузы BC и B₁C₁, а также катеты CF и C₁E. Следовательно, треугольники BCF и B₁C₁E равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что углы ∠BCF и ∠B₁C₁E равны, а также ∠CBF = ∠C₁B₁E.
В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ стороны BC и B₁C₁ равны, углы при этой стороне ∠ABC и ∠A₁B₁C₁, а также ∠ACB и ∠A₁C₁B₁ равны. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим углам. Доказано.
Дано два остроугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что стороны BC и B₁C₁ равны, высоты BH и B₁D равны, высоты CF и C₁E равны. Требуется доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁.
Рассмотрим треугольники BHC и B₁DC₁. Эти треугольники прямоугольные, так как BH и B₁D — высоты, проведённые из вершин B и B₁ к противоположным сторонам. В этих треугольниках известно, что гипотенузы BC и B₁C₁ равны, а также катеты BH и B₁D равны по условию. По признаку равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и катет) треугольники BHC и B₁DC₁ равны. Из равенства треугольников следует, что углы ∠BHC и ∠B₁DC₁ равны, а также углы ∠HBC и ∠DB₁C₁ равны.
Далее рассмотрим треугольники BCF и B₁C₁E. Эти треугольники также прямоугольные, так как CF и C₁E — высоты, проведённые из вершин C и C₁ к противоположным сторонам. В этих треугольниках известно, что гипотенузы BC и B₁C₁ равны, а также катеты CF и C₁E равны по условию. По признаку равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и катет) треугольники BCF и B₁C₁E равны. Из равенства треугольников следует, что углы ∠BCF и ∠B₁C₁E равны, а также углы ∠CBF и ∠C₁B₁E равны.
Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. У них равны стороны BC и B₁C₁ по условию. Также доказано, что углы при этих сторонах ∠ABC и ∠A₁B₁C₁ равны, так как они состоят из равных углов ∠HBC и ∠DB₁C₁. Аналогично углы ∠ACB и ∠A₁C₁B₁ равны, так как они состоят из равных углов ∠CBF и ∠C₁B₁E. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим углам.
Доказано.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.