ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 262 Атанасян — Подробные Ответы

В треугольниках ABC и A1B1C1 углы A и A1 — прямые, BD и B1D1 — биссектрисы. Докажите, что ΔABC = ΔA1B1C1, если ∠B = ∠B1 и BD = B1D1.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и A1B1D1. По условию BD = B1D1, углы ∠ABD и ∠A1B1D1 равны как половины равных углов ∠B и ∠B1. Следовательно, треугольники ABD и A1B1D1 равны по гипотенузе и острому углу. Из этого следует, что AB = A1B1.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. В них катеты AB и A1B1 равны, углы ∠B и ∠B1 равны по условию. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по катету и острому углу.

Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, в которых углы A и A1 являются прямыми, BD и B1D1 — биссектрисы, а также по условию ∠B = ∠B1 и BD = B1D1. Необходимо доказать, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABD и A1B1D1. В них:
— гипотенузы AB и A1B1 (стороны прямоугольных треугольников) лежат напротив прямых углов;
— отрезки BD и B1D1 равны по условию;
— углы ∠ABD и ∠A1B1D1 равны, так как они являются половинами равных углов ∠B и ∠B1 (по свойству биссектрисы).

2. Из вышеуказанных свойств следует, что треугольники ABD и A1B1D1 равны по признаку равенства треугольников (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AB = A1B1.

3. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. В них:
— катеты AB и A1B1 равны (доказано ранее);
— углы ∠B и ∠B1 равны по условию;
— углы A и A1 равны, так как оба являются прямыми.

4. Из вышеуказанных свойств следует, что треугольники ABC и A1B1C1 равны по признаку равенства треугольников (по катету и острому углу).

Таким образом, доказано, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.